Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если катет АК = 11√3 дм и ∠ ОАК = 30°. KO = дм; AO = дм.

Решение:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAK\), в котором \(\angle OAK = 30^\circ\).
• Катет \(AK = 11\sqrt{3}\) дм прилежит к углу \(\angle OAK = 30^\circ\).
• Катет \(OK\) лежит против угла \(\angle OAK = 30^\circ\).

1. Найдем катет \(KO\). Тангенс угла \(\angle OAK\) равен отношению противолежащего катета \(OK\) к прилежащему катету \(AK\):

   \[\tan(\angle OAK) = \frac{KO}{AK}\]

   Подставим известные значения:

   \[\tan(30^\circ) = \frac{KO}{11\sqrt{3}}\]

   Известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\, тогда:

   \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{KO}{11\sqrt{3}}\]

   Решим уравнение относительно \(KO\):

   \[KO = \frac{11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 11 \text{ дм}\]

2. Найдем гипотенузу \(AO\). Косинус угла \(\angle OAK\) равен отношению прилежащего катета \(AK\) к гипотенузе \(AO\):

   \[\cos(\angle OAK) = \frac{AK}{AO}\]

   Подставим известные значения:

   \[\cos(30^\circ) = \frac{11\sqrt{3}}{AO}\]

   Известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), тогда:

   \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{AO}\]

   Решим уравнение относительно \(AO\):

   \[AO = \frac{11\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 22 \text{ дм}\]

Ответ: \(KO = 11 \text{ дм}\); \(AO = 22 \text{ дм}\)