Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если катет АК = 16√3 мм и ∠КАО = 30°.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

У нас есть прямоугольный треугольник ОКА, где угол О — прямой (90°).

Дано:

• Катет АК = 16√3 мм
• Угол ∠КАО = 30°

Найти:

• Катет ОК
• Гипотенузу ОА

Решение:

1. Найдем катет ОК. Мы знаем катет АК и угол ∠КАО. В прямоугольном треугольнике тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. У нас угол ∠КАО, противолежащий катет — ОК, а прилежащий — АК.
2. Запишем формулу: \( \tan(\text{∠КАО}) = \frac{\text{ОК}}{\text{АК}} \)
3. Подставим известные значения: \( \tan(30°) = \frac{\text{ОК}}{16\text{√}3} \)
4. Мы знаем, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\text{√}3} \).
5. Получаем уравнение: \( \frac{1}{\text{√}3} = \frac{\text{ОК}}{16\text{√}3} \)
6. Чтобы найти ОК, умножим обе части на 16√3: \( \text{ОК} = \frac{1}{\text{√}3} \times 16\text{√}3 \)
7. \( \text{ОК} = 16 \) мм.
8. Найдем гипотенузу ОА. Теперь у нас есть оба катета: АК = 16√3 мм и ОК = 16 мм. Можем использовать теорему Пифагора: \( \text{ОА}^2 = \text{АК}^2 + \text{ОК}^2 \).
9. Подставим значения: \( \text{ОА}^2 = (16\text{√}3)^2 + 16^2 \)
10. \( \text{ОА}^2 = (16^2 \times (\text{√}3)^2) + 16^2 \)
11. \( \text{ОА}^2 = (256 \times 3) + 256 \)
12. \( \text{ОА}^2 = 768 + 256 \)
13. \( \text{ОА}^2 = 1024 \)
14. Чтобы найти ОА, извлечем квадратный корень: \( \text{ОА} = \text{√}1024 \)
15. \( \text{ОА} = 32 \) мм.
16. Альтернативный способ найти гипотенузу ОА: Мы знаем катет АК и угол ∠КАО. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
17. Запишем формулу: \( \tan(\text{∠КАО}) = \frac{\text{АК}}{\text{ОА}} \)
18. Подставим известные значения: \( \tan(30°) = \frac{16\text{√}3}{\text{ОА}} \)
19. Мы знаем, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\text{√}3} \).
20. Получаем уравнение: \( \frac{1}{\text{√}3} = \frac{16\text{√}3}{\text{ОА}} \)
21. Чтобы найти ОА, умножим крест-накрест: \( \text{ОА} \times 1 = 16\text{√}3 \times \text{√}3 \)
22. \( \text{ОА} = 16 \times 3 \)
23. \( \text{ОА} = 48 \) мм.
24. Что-то пошло не так! Давай проверим, что именно. А, вижу! В формуле для тангенса я перепутала катеты.
25. Исправляем:
26. Найдем катет ОК. Тангенс угла 30° — это отношение противолежащего катета (ОК) к прилежащему (АК).
27. \( \tan(30°) = \frac{\text{ОК}}{\text{АК}} \)
28. \( \frac{1}{\text{√}3} = \frac{\text{ОК}}{16\text{√}3} \)
29. \( \text{ОК} = \frac{16\text{√}3}{\text{√}3} = 16 \) мм. (Это верно!)
30. Найдем гипотенузу ОА. Используем синус угла 30°, который равен отношению противолежащего катета (ОК) к гипотенузе (ОА).
31. \( \text{sin}(30°) = \frac{\text{ОК}}{\text{ОА}} \)
32. Мы знаем, что \( \text{sin}(30°) = \frac{1}{2} \).
33. \( \frac{1}{2} = \frac{16}{\text{ОА}} \)
34. Умножим крест-накрест: \( \text{ОА} \times 1 = 16 \times 2 \)
35. \( \text{ОА} = 32 \) мм. (Теперь все сходится!)

Ответ: ОК = 16 мм, ОА = 32 мм.