Вычисли значение a, используя график функции y = a*x^2 + b*x + c, который представлен в прямоугольной системе координат, если вершина параболы - в точке (1/2, 1/2) и график параболы пересекает ось Oy в точке (0;1).

Решение:

Функция задана формулой \( y = ax^2 + bx + c \).

Известно, что вершина параболы находится в точке \( (1/2, 1/2) \). Координаты вершины параболы \( (x_0, y_0) \) связаны с коэффициентами формулой \( x_0 = -b/(2a) \).

Из условия имеем \( x_0 = 1/2 \) и \( y_0 = 1/2 \).

Также график пересекает ось Oy в точке \( (0; 1) \). Это значит, что при \( x = 0 \), \( y = 1 \).

Подставим координаты точки \( (0; 1) \) в уравнение функции:

\[ 1 = a(0)^2 + b(0) + c \]\[ 1 = c \]

Таким образом, \( c = 1 \).

Теперь уравнение имеет вид \( y = ax^2 + bx + 1 \).

Используем тот факт, что вершина параболы находится в точке \( (1/2, 1/2) \). Подставим координаты вершины в уравнение:

\[ \frac{1}{2} = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(\frac{1}{2}\right) + 1 \]\[ \frac{1}{2} = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 1 \]

Вычтем 1 из обеих частей:

\[ \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b \]\[ -\frac{1}{2} = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b \]

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ -2 = a + 2b \]

Мы знаем, что \( x_0 = -b/(2a) \). Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2} = -\frac{b}{2a} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 1 \cdot 2a = -b \cdot 2 \]\[ 2a = -2b \]\[ a = -b \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + 2b = -2 \)
2. \( a = -b \)

Подставим второе уравнение в первое:

\[ (-b) + 2b = -2 \]\[ b = -2 \]

Теперь найдём \( a \) из второго уравнения:

\[ a = -(-2) \]\[ a = 2 \]

Итак, мы нашли коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \).

Проверим, что вершина параболы действительно находится в точке \( (1/2, 1/2) \) с найденными коэффициентами.

Координата x вершины: \( x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2*2) = 2/4 = 1/2 \).

Координата y вершины: \( y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c = 2(1/2)^2 + (-2)(1/2) + 1 = 2(1/4) - 1 + 1 = 1/2 \).

Всё верно.

Ответ: 2