Вычисли значение выражения 69 + 165-5. V

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем выражение под корнем, чтобы выделить полный квадрат.

  Исходное выражение: \[ \sqrt{69 + 16\sqrt{5} - \sqrt{5}} \]

  Заметим, что 16√5 - √5 = 15√5. Выражение можно переписать как: \[ \sqrt{69 + 15\sqrt{5}} \]

• Шаг 2: Найдем два числа, квадрат суммы которых даст выражение под корнем.

  Предположим, что это числа a и √5. Тогда: \[ (a + \sqrt{5})^2 = a^2 + 2a\sqrt{5} + 5 \]

  Сравним это с 69 + 15√5. Получим систему уравнений: \[ \begin{cases} a^2 + 5 = 69 \\ 2a = 15 \end{cases} \]

  Из первого уравнения: a² = 64, значит, a = 8. Но 2a = 15 не выполняется, поэтому нужно изменить подход.

• Шаг 3: Заметим, что 16√5 можно представить как 2 ⋅ 8√5.

  Тогда: \[ \sqrt{69 + 2 \cdot 8 \sqrt{5} - \sqrt{5}} = \sqrt{64 + 2 \cdot 8 \sqrt{5} + 5 - \sqrt{5}} \]

• Шаг 4: Представим выражение под корнем как полный квадрат:

  \[ \sqrt{(8 + \sqrt{5})^2 - \sqrt{5}} \]

• Шаг 5: Раскроем квадрат и упростим выражение:

  \[ \sqrt{64 + 16\sqrt{5} + 5} = \sqrt{69 + 16\sqrt{5}} \]

• Шаг 6: Извлечем квадратный корень:

  \[ 8 + \sqrt{5} - \sqrt[4]{5} \]

• Шаг 7: Окончательное выражение: 8 + √5 - √[4]{5}.

Ответ: 8