Вычисли значение выражения: $$\frac{5x^{-1} - y^{-1}}{5x^{-1} + y^{-1}}$$ при $$\frac{y}{x} = 6^{-1}$$.

Решение:

Данное выражение можно упростить, если привести его к общему знаменателю:

\( \frac{5x^{-1} - y^{-1}}{5x^{-1} + y^{-1}} = \frac{\frac{5}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{5}{x} + \frac{1}{y}} \)

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

\( \frac{\frac{5y - x}{xy}}{\frac{5y + x}{xy}} \)

Сократим \( xy \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{5y - x}{5y + x} \)

Теперь воспользуемся условием \( \frac{y}{x} = 6^{-1} = \frac{1}{6} \). Из этого следует, что \( y = \frac{1}{6}x \) или \( x = 6y \).

Подставим \( x = 6y \) в выражение:

\( \frac{5y - 6y}{5y + 6y} = \frac{-y}{11y} = -\frac{1}{11} \)

Альтернативно, разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\( \frac{5\frac{y}{x} - 1}{5\frac{y}{x} + 1} \)

Подставим \( \frac{y}{x} = \frac{1}{6} \):

\( \frac{5(\frac{1}{6}) - 1}{5(\frac{1}{6}) + 1} = \frac{\frac{5}{6} - 1}{\frac{5}{6} + 1} = \frac{\frac{5-6}{6}}{\frac{5+6}{6}} = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{11}{6}} = -\frac{1}{11} \)

Ответ: $$-\frac{1}{11}$$