4. Вычислить $$\int_{1}^{3} 4x^3dx =$$

Для вычисления определенного интеграла $$\int_{1}^{3} 4x^3dx$$, сначала найдем первообразную функции $$4x^3$$, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную функции $$4x^3$$. Используем правило интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$, где $$C$$ - константа интегрирования.

   $$\int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$$

2. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$, где $$F(x)$$ - первообразная функции $$f(x)$$.

   В нашем случае, $$F(x) = x^4$$, $$a = 1$$, и $$b = 3$$.

   $$\int_{1}^{3} 4x^3 dx = F(3) - F(1) = 3^4 - 1^4 = 81 - 1 = 80$$

Ответ: 80