1. Вычислить: 1) 1063 27: 2) (\frac{1}{3})^{2 log_\frac{3}{7} 7} 3) log2 56 + 2 logz 12-log2 63 2. Найти область определения функции y = log 4 \frac{(x-1)(x+4)}{3-x} 11 3. Сравнить числа: logo, 1 \frac{1}{2} и logo, 1 \frac{1}{3} 4. Решить уравнение: 1) log4(2x + 3) = 3 2)log3(x8)+log3 8 = 2 3) log√x + log, x = 10 5. Решить неравенство: 1)log5(x-3) <2 2) (log2x)² - 3 log2 x ≤4

Предварительный анализ

Это задание по математике, а именно по алгебре, для учеников старших классов (10-11 класс), изучающих логарифмы. Необходимо выполнить вычисления, найти область определения функции, сравнить числа, решить уравнения и неравенства, используя свойства логарифмов.

Решение

1. Вычислить:

1) \( log_3 \frac{1}{27} \)

Давай вспомним, что \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \). Тогда:

\[ log_3 \frac{1}{27} = log_3 (3^{-3}) = -3 \]

2) \( (\frac{1}{3})^{2 log_{\frac{1}{3}} 7} \)

Используем свойство логарифмов: \( a^{log_a b} = b \). Чтобы его применить, преобразуем выражение:

\[ (\frac{1}{3})^{2 log_{\frac{1}{3}} 7} = ((\frac{1}{3})^{log_{\frac{1}{3}} 7})^2 = 7^2 = 49 \]

3) \( log_2 56 + 2 log_2 12 - log_2 63 \)

Применим свойства логарифмов: \( log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c) \) и \( n log_a b = log_a (b^n) \). Тогда:

\[ log_2 56 + 2 log_2 12 - log_2 63 = log_2 56 + log_2 (12^2) - log_2 63 = \]

\[ = log_2 (56 \cdot 144) - log_2 63 = log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = log_2 \frac{8 \cdot 144}{9} = log_2 (8 \cdot 16) = log_2 128 = log_2 (2^7) = 7 \]

2. Найти область определения функции:

\[ y = log_{\frac{4}{11}} \frac{(x-1)(x+4)}{3-x} \]

Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо, чтобы:

1. Основание логарифма было положительным и не равным 1: \( \frac{4}{11} > 0 \) и \( \frac{4}{11}
   eq 1 \) (выполняется).
2. Аргумент логарифма был положительным: \( \frac{(x-1)(x+4)}{3-x} > 0 \)

Решим неравенство методом интервалов:

Найдем нули числителя и знаменателя: \( x = 1, x = -4, x = 3 \)

Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +          -          +          -
-----(-4)-----(1)-----(3)-----> x

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля:

\[ x \in (-4; 1) \cup (3; +\infty) \]

3. Сравнить числа: \( log_{0.9} 1\frac{1}{2} \) и \( log_{0.9} 1\frac{1}{3} \)

Преобразуем смешанные дроби в неправильные: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) и \( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \)

Так как основание логарифма \( 0.9 < 1 \), то функция убывает. Это значит, что большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма.

Поскольку \( 1.5 > 1.33 \), то \( log_{0.9} 1.5 < log_{0.9} 1.33 \)

Таким образом: \( log_{0.9} 1\frac{1}{2} < log_{0.9} 1\frac{1}{3} \)

4. Решить уравнение:

1) \( log_4 (2x + 3) = 3 \)

По определению логарифма:

\[ 2x + 3 = 4^3 \]

\[ 2x + 3 = 64 \]

\[ 2x = 61 \]

\[ x = \frac{61}{2} = 30.5 \]

2) \( log_3 (x - 8) + log_3 8 = 2 \)

Применим свойство логарифмов: \( log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c) \)

\[ log_3 (8(x - 8)) = 2 \]

По определению логарифма:

\[ 8(x - 8) = 3^2 \]

\[ 8x - 64 = 9 \]

\[ 8x = 73 \]

\[ x = \frac{73}{8} = 9.125 \]

3) \( log_{\sqrt{x}} 3 + log_x 9 = 10 \)

Преобразуем логарифмы к одному основанию (основанию x):

\[ log_{\sqrt{x}} 3 = \frac{log_x 3}{log_x \sqrt{x}} = \frac{log_x 3}{\frac{1}{2}} = 2 log_x 3 \]

\[ log_x 9 = log_x (3^2) = 2 log_x 3 \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ 2 log_x 3 + 2 log_x 3 = 10 \]

\[ 4 log_x 3 = 10 \]

\[ log_x 3 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

По определению логарифма:

\[ x^{\frac{5}{2}} = 3 \]

\[ x = 3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2} = \sqrt[5]{9} \]

5. Решить неравенство:

1) \( log_5 (x - 3) < 2 \)

По определению логарифма:

\[ x - 3 < 5^2 \]

\[ x - 3 < 25 \]

\[ x < 28 \]

Учитывая, что аргумент логарифма должен быть положительным: \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)

Таким образом:

\[ 3 < x < 28 \]

2) \( (log_2 x)^2 - 3 log_2 x \leq 4 \)

Пусть \( t = log_2 x \). Тогда:

\[ t^2 - 3t \leq 4 \]

\[ t^2 - 3t - 4 \leq 0 \]

Решим квадратное уравнение: \( t^2 - 3t - 4 = 0 \)

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

\[ t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Тогда неравенство можно записать как:

\[ (t - 4)(t + 1) \leq 0 \]

Решением будут значения \( -1 \leq t \leq 4 \)

Вернемся к переменной x:

\[ -1 \leq log_2 x \leq 4 \]

\[ 2^{-1} \leq x \leq 2^4 \]

\[ \frac{1}{2} \leq x \leq 16 \]