Вычислить: 1) log, 16, 2) 51-2 log53, 3) log, 135-log, 20 + 2log, 6. 2 2) Сравнить числа log3 3 34 4 и log 3 5 3) Решить уравнение log, (2x-1) = 2. 4) Решить неравенство log, (x-5)>1. 3 5) Решить графически уравнение log3x = 2. x 6) Решить уравнение log x + log x = 14. 8 √2 7) Решить неравенство: 1) log1(10 - x) + log(x-3) ≥-1 6 2) log2 x - 2log, x≤3. 3 8) (Дополнительно) Решить уравнение log, (3x - 2) = 3-2log, (2x-1).

Решение:

Давай разберем каждое задание по порядку. Начнем с вычислений:

1) log₂ 16

Представим 16 как степень двойки: 16 = 2⁴. Тогда:

\[log_2 16 = log_2 2^4 = 4\]

2) 5^{1 - 2log₅ 3}

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов и степеней:

\[5^{1 - 2log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{-2log_5 3} = 5 \cdot 5^{log_5 3^{-2}} = 5 \cdot 3^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{9} = \frac{5}{9}\]

3) log₃ 135 - log₃ 20 + 2log₃ 6

Используем свойства логарифмов:

\[log_3 135 - log_3 20 + 2log_3 6 = log_3 \frac{135}{20} + log_3 6^2 = log_3 \frac{135}{20} + log_3 36 = log_3 (\frac{135}{20} \cdot 36) = log_3 (\frac{27}{4} \cdot 36) = log_3 (27 \cdot 9) = log_3 243\]

Представим 243 как степень тройки: 243 = 3⁵. Тогда:

\[log_3 243 = log_3 3^5 = 5\]

Ответ: 1) 4; 2) 5/9; 3) 5

---

2) Сравнить числа log₃ (3/4) и log₃ (4/5)

Поскольку логарифм по основанию 3 является возрастающей функцией, сравним аргументы логарифмов:

\[\frac{3}{4} \text{ и } \frac{4}{5}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{3}{4} = \frac{15}{20}, \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}\]

Так как \(\frac{15}{20} < \frac{16}{20}\), то \(\log_3 \frac{3}{4} < \log_3 \frac{4}{5}\).

Ответ: log₃ (3/4) < log₃ (4/5)

---

3) Решить уравнение log₅ (2x - 1) = 2

Используем определение логарифма:

\[2x - 1 = 5^2\] \[2x - 1 = 25\] \[2x = 26\] \[x = 13\]

Ответ: x = 13

---

4) Решить неравенство log⅓ (x - 5) > 1

При основании логарифма меньше 1, знак неравенства меняется:

\[x - 5 < (\frac{1}{3})^1\] \[x - 5 < \frac{1}{3}\] \[x < 5 + \frac{1}{3}\] \[x < \frac{16}{3}\]

Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть больше нуля:

\[x - 5 > 0\] \[x > 5\]

Итак, \(5 < x < \frac{16}{3}\). В десятичном виде это примерно 5 < x < 5.33

Ответ: 5 < x < 16/3

---

5) Решить графически уравнение log₃ x = 3/x

Чтобы решить графически, нужно построить графики функций y = log₃ x и y = 3/x и найти точку их пересечения.

График y = log₃ x – это логарифмическая функция с основанием 3.

График y = 3/x – это гипербола.

Точка пересечения этих графиков будет решением уравнения.

Приблизительное решение: x ≈ 2.47

Ответ: x ≈ 2.47 (графическое решение)

---

6) Решить уравнение log₈ x + log√₂ x = 14

Приведем оба логарифма к одному основанию, например, к основанию 2. Учтем, что 8 = 2³, а √2 = 2^(1/2).

\[log_8 x = \frac{log_2 x}{log_2 8} = \frac{log_2 x}{3}\] \[log_{\sqrt{2}} x = \frac{log_2 x}{log_2 \sqrt{2}} = \frac{log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2log_2 x\]

Теперь уравнение выглядит так:

\[\frac{log_2 x}{3} + 2log_2 x = 14\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{log_2 x + 6log_2 x}{3} = 14\] \[7log_2 x = 42\] \[log_2 x = 6\] \[x = 2^6\] \[x = 64\]

Ответ: x = 64

---

7) Решить неравенство: 1) log₆(10 - x) + log₆(x - 3) ≥ -1

Используем свойства логарифмов:

\[log_6((10 - x)(x - 3)) \ge -1\] \[(10 - x)(x - 3) \ge 6^{-1}\] \[(10 - x)(x - 3) \ge \frac{1}{6}\] \[10x - 30 - x^2 + 3x \ge \frac{1}{6}\] \[-x^2 + 13x - 30 \ge \frac{1}{6}\] \[-6x^2 + 78x - 180 \ge 1\] \[6x^2 - 78x + 181 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения 6x² - 78x + 181 = 0:

\[x = \frac{-(-78) \pm \sqrt{(-78)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 181}}{2 \cdot 6} = \frac{78 \pm \sqrt{6084 - 4344}}{12} = \frac{78 \pm \sqrt{1740}}{12} = \frac{78 \pm 2\sqrt{435}}{12} = \frac{39 \pm \sqrt{435}}{6}\] \[x_1 = \frac{39 - \sqrt{435}}{6} \approx 2.76, \quad x_2 = \frac{39 + \sqrt{435}}{6} \approx 10.24\]

Учитывая ограничения на аргументы логарифмов: 10 - x > 0 и x - 3 > 0, получаем 3 < x < 10. Тогда решением будет интервал:

\(x \in [(\frac{39 - \sqrt{435}}{6}); 10)\)

Ответ: x \in [(\frac{39 - \sqrt{435}}{6}); 10)

---

7) Решить неравенство: 2) log₃² x - 2log₃ x ≤ 3

Пусть y = log₃ x, тогда:

\[y^2 - 2y \le 3\] \[y^2 - 2y - 3 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения y² - 2y - 3 = 0:

\[y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\] \[y_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\]

Тогда -1 ≤ y ≤ 3, значит:

\[-1 \le log_3 x \le 3\] \[3^{-1} \le x \le 3^3\] \[\frac{1}{3} \le x \le 27\]

Ответ: 1/3 ≤ x ≤ 27

---

8) (Дополнительно) Решить уравнение log₂ₓ₋₁ (3x - 2) = 3 - 2log₃ₓ₋₂ (2x - 1)

Обозначим log₂ₓ₋₁ (3x - 2) = a. Тогда уравнение можно переписать как:

\[a = 3 - \frac{2}{a}\] \[a^2 = 3a - 2\] \[a^2 - 3a + 2 = 0\]

Корни этого уравнения:

\[a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\]

a₁ = 1, a₂ = 2

Рассмотрим оба случая:

1) a = 1:

\[log_{2x-1} (3x - 2) = 1\] \[3x - 2 = 2x - 1\] \[x = 1\]

Подставим в исходное уравнение: 2x - 1 > 0, то есть x > 1/2. Но при x = 1, основание 2x-1 = 1, что недопустимо.

2) a = 2:

\[log_{2x-1} (3x - 2) = 2\] \[(2x - 1)^2 = 3x - 2\] \[4x^2 - 4x + 1 = 3x - 2\] \[4x^2 - 7x + 3 = 0\]

Корни этого уравнения:

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{8} = \frac{7 \pm 1}{8}\] \[x_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75, \quad x_2 = \frac{8}{8} = 1\]

Проверим полученные значения на допустимость. Основание 2x-1 должно быть больше 0 и не равно 1.

При x = 3/4: 2x - 1 = 2(3/4) - 1 = 1/2 > 0 (подходит).

При x = 1: 2x - 1 = 1 (не подходит, основание не может быть равно 1).

Проверим x = 3/4 в исходном уравнении.

Основание первого логарифма равно \(2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}\), а аргумент \(3 \cdot \frac{3}{4} - 2 = \frac{1}{4}\). Тогда первый логарифм равен \(log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2\)

Основание второго логарифма равно \(2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}\), а аргумент \(2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}\). Тогда второй логарифм равен \(log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1\)

Тогда уравнение: \(2 = 3 - 2 \cdot 1\), то есть \(2 = 1\), что неверно.

Следовательно, нет решений.

Ответ: Нет решений

Ты отлично поработал(а) над этими заданиями! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!