1. Вычислить: 1) log116; 2) 51+logs 3; 3) log3 135 - log3 20 + 2 log3 6. 2 log1 (1) 1083; 2)(3) 21087; 3) log2 56 + 2log2 12 - log263]. 27 2 2. Сравнить числа: log1 И 2 2 1] и logo,9 1 4 91 2 3. Решить уравнение: log5(2x - 1) = 2; 4. Решить неравенство: log1(x - 5) > 1; [log(x - 5) > 1]. 3 3 [log4(2x + 3) = 3]. 5. Решить уравнение: log8 x + log√2x = 14; [log√3 x + log9 x = 10]. 6. Решить неравенство: log1(10-x) + log1(x - 3) ≥ −1; 6 6 7. (Дополнительно) Решить неравенство: loq3 x - 2 log3 x ≤ 3; [log1(x-3) + log1(9-x) ≥ −3]. 2 2 [loq x - 3 log2 x ≤ 4].

1. Вычислить:

1) \[\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = -4\log_2 2 = -4\] 2) \[5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15\] 3) \[\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6 = \log_3 \frac{135}{20} + \log_3 6^2 = \log_3 \frac{27}{4} + \log_3 36 = \log_3 \left(\frac{27}{4} \cdot 36\right) = \log_3 (27 \cdot 9) = \log_3 (3^3 \cdot 3^2) = \log_3 3^5 = 5\]

1]

1) \[\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3\log_3 3 = -3\] 2) \[\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_3 7} = (3^{-1})^{2\log_3 7} = 3^{-2\log_3 7} = 3^{\log_3 7^{-2}} = 7^{-2} = \frac{1}{49}\] 3) \[\log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 12^2 - \log_2 63 = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_2 \frac{8 \cdot 7 \cdot 16 \cdot 9}{9 \cdot 7} = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 (2^3 \cdot 2^4) = \log_2 2^7 = 7\]

2. Сравнить числа:

\[\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5}\] Так как основание логарифма \(\frac{1}{2} < 1\), то функция убывает. Сравним аргументы: \(\frac{3}{4} = 0.75\), \(\frac{4}{5} = 0.8\). Так как \(0.75 < 0.8\), то \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} > \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5}\). \[\log_{0.9} 1\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_{0.9} 1\frac{1}{3}\] Так как основание логарифма \(0.9 < 1\), то функция убывает. Сравним аргументы: \(1\frac{1}{2} = 1.5\), \(1\frac{1}{3} \approx 1.33\). Так как \(1.5 > 1.33\), то \(\log_{0.9} 1\frac{1}{2} < \log_{0.9} 1\frac{1}{3}\).

3. Решить уравнение:

\[\log_5 (2x - 1) = 2\] По определению логарифма: \(2x - 1 = 5^2\), \(2x - 1 = 25\), \(2x = 26\), \(x = 13\). Проверка: \(\log_5 (2 \cdot 13 - 1) = \log_5 25 = 2\). \[\log_4 (2x + 3) = 3\] По определению логарифма: \(2x + 3 = 4^3\), \(2x + 3 = 64\), \(2x = 61\), \(x = \frac{61}{2} = 30.5\). Проверка: \(\log_4 (2 \cdot 30.5 + 3) = \log_4 64 = 3\).

4. Решить неравенство:

\[\log_{\frac{1}{3}} (x - 5) > 1\] ОДЗ: \(x - 5 > 0\), значит, \(x > 5\). По определению логарифма: \(x - 5 < (\frac{1}{3})^1\), так как основание меньше 1, знак неравенства меняется. \(x - 5 < \frac{1}{3}\), \(x < 5 + \frac{1}{3}\), \(x < \frac{16}{3}\), \(x < 5\frac{1}{3}\). Учитывая ОДЗ, получаем: \(5 < x < \frac{16}{3}\). \[\log_{\frac{1}{3}} (x - 5) > 1\] ОДЗ: \(x - 5 > 0\), значит, \(x > 5\). По определению логарифма: \(x - 5 < (\frac{1}{3})^1\), так как основание меньше 1, знак неравенства меняется. \(x - 5 < \frac{1}{3}\), \(x < 5 + \frac{1}{3}\), \(x < \frac{16}{3}\), \(x < 5\frac{1}{3}\). Учитывая ОДЗ, получаем: \(5 < x < \frac{16}{3}\).

5. Решить уравнение:

\[\log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14\] \(\log_8 x + \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{1/2}} = 14\), \(\log_8 x + \frac{\log_2 x}{1/2} = 14\), \(\log_8 x + 2\log_2 x = 14\). \(\frac{\log_2 x}{\log_2 8} + 2\log_2 x = 14\), \(\frac{\log_2 x}{3} + 2\log_2 x = 14\), \(\frac{7}{3} \log_2 x = 14\), \(\log_2 x = 6\), \(x = 2^6\), \(x = 64\). \[\log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10\] \(\frac{\log_3 x}{\log_3 3^{1/2}} + \frac{\log_3 x}{\log_3 3^2} = 10\), \(\frac{\log_3 x}{1/2} + \frac{\log_3 x}{2} = 10\), \(2\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x = 10\), \(\frac{5}{2} \log_3 x = 10\), \(\log_3 x = 4\), \(x = 3^4\), \(x = 81\).

6. Решить неравенство:

\[\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \geq -1\] ОДЗ: \(10 - x > 0\) и \(x - 3 > 0\), значит, \(x < 10\) и \(x > 3\), то есть \(3 < x < 10\). \(\log_{\frac{1}{6}} ((10 - x)(x - 3)) \geq -1\), \((10 - x)(x - 3) \leq (\frac{1}{6})^{-1}\), так как основание меньше 1, знак неравенства меняется. \((10 - x)(x - 3) \leq 6\), \(10x - 30 - x^2 + 3x \leq 6\), \(-x^2 + 13x - 36 \leq 0\), \(x^2 - 13x + 36 \geq 0\). Найдем корни уравнения \(x^2 - 13x + 36 = 0\): \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\] \[x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4\] Тогда, \((x - 9)(x - 4) \geq 0\). Решением неравенства являются интервалы \(x \leq 4\) или \(x \geq 9\). Учитывая ОДЗ, получаем: \(3 < x \leq 4\) или \(9 \leq x < 10\). \[\log_{\frac{1}{2}} (x - 3) + \log_{\frac{1}{2}} (9 - x) \geq -3\] ОДЗ: \(x - 3 > 0\) и \(9 - x > 0\), значит, \(x > 3\) и \(x < 9\), то есть \(3 < x < 9\). \(\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)(9 - x)) \geq -3\), \((x - 3)(9 - x) \leq (\frac{1}{2})^{-3}\), так как основание меньше 1, знак неравенства меняется. \((x - 3)(9 - x) \leq 8\), \(9x - x^2 - 27 + 3x \leq 8\), \(-x^2 + 12x - 35 \leq 0\), \(x^2 - 12x + 35 \geq 0\). Найдем корни уравнения \(x^2 - 12x + 35 = 0\): \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4\] \[x_1 = \frac{12 + 2}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{12 - 2}{2} = 5\] Тогда, \((x - 7)(x - 5) \geq 0\). Решением неравенства являются интервалы \(x \leq 5\) или \(x \geq 7\). Учитывая ОДЗ, получаем: \(3 < x \leq 5\) или \(7 \leq x < 9\).

7. (Дополнительно) Решить неравенство:

\[(\log_3 x)^2 - 2 \log_3 x \leq 3\] \((\log_3 x)^2 - 2 \log_3 x - 3 \leq 0\). Пусть \(t = \log_3 x\), тогда \(t^2 - 2t - 3 \leq 0\). Найдем корни уравнения \(t^2 - 2t - 3 = 0\): \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] \[t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\] Тогда, \((t - 3)(t + 1) \leq 0\). Решением неравенства является интервал \(-1 \leq t \leq 3\). То есть \(-1 \leq \log_3 x \leq 3\), \(3^{-1} \leq x \leq 3^3\), \(\frac{1}{3} \leq x \leq 27\). \[(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x \leq 4\] \((\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x - 4 \leq 0\). Пусть \(t = \log_2 x\), тогда \(t^2 - 3t - 4 \leq 0\). Найдем корни уравнения \(t^2 - 3t - 4 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1\] Тогда, \((t - 4)(t + 1) \leq 0\). Решением неравенства является интервал \(-1 \leq t \leq 4\). То есть \(-1 \leq \log_2 x \leq 4\), \(2^{-1} \leq x \leq 2^4\), \(\frac{1}{2} \leq x \leq 16\).

Ответ: смотри решение выше