Вычислить: 1) [a^(4/3)(a^(-1/3) + a^(2/3))] / [a^(1/4)(a^(3/4) + a^(-1/4))]; 2) [b^(1/5)(⁵√(b^4) − ⁵√(b^(-1)))] / [b^(2/3)(³√b − ³√(b^(-2)))]; 3) (a^(5/3)b^(-1) − a^(-1/3)) / ³√(a²); 4) [a^(1/3)√b + b^(1/3)√a] / [⁶√a + ⁶√b].

1. Вынесем общие множители:

   \(\frac{a^{4/3}(a^{-1/3}+a^{2/3})}{a^{1/4}(a^{3/4}+a^{-1/4})}=\frac{a^{4/3}\cdot a^{-1/3}(1+a)}{a^{1/4}\cdot a^{-1/4}(a+1)}\).

   \(=\frac{a(1+a)}{a+1}=a\).

2. Представим корни как степени:

   \(\frac{b^{1/5}(b^{4/5}-b^{-1/5})}{b^{2/3}(b^{1/3}-b^{-2/3})}=\frac{b^{1/5}\cdot b^{-1/5}(b-1)}{b^{2/3}\cdot b^{-2/3}(b-1)}\).

   \(=\frac{b-1}{b-1}=1\).

3. Вынесем \(a^{-1/3}\) в числителе, а \(\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}\):

   \(\frac{a^{5/3}b^{-1}-a^{-1/3}}{a^{2/3}}=\frac{a^{-1/3}(a^2b^{-1}-1)}{a^{2/3}}\).

   \(=a^{-1}\left(\frac{a^2}{b}-1\right)=\frac{a^2-b}{ab}\).

4. Обозначим \(x=\sqrt[6]{a}\), \(y=\sqrt[6]{b}\). Тогда \(a^{1/3}=x^2\), \(\sqrt b=y^3\), \(b^{1/3}=y^2\), \(\sqrt a=x^3\).

   \(\frac{x^2y^3+y^2x^3}{x+y}=\frac{x^2y^2(x+y)}{x+y}=x^2y^2\).

   Следовательно, \(x^2y^2=a^{1/3}b^{1/3}=\sqrt[3]{ab}\).

Ответ: 1) \(a\); 2) \(1\); 3) \(\frac{a^2-b}{ab}\); 4) \(\sqrt[3]{ab}\).