Вычислить (267-276).

Задание: Вычислить логарифмы (267-276).

Для вычисления логарифмов воспользуемся определением логарифма: $$\log_a b = c ↔ a^c = b$$.

267.

1. 
   

   $$\\log_2 16$$

   
   

   Так как $$2^4 = 16$$, то $$\\log_2 16 = 4$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_2 64$$

   
   

   Так как $$2^6 = 64$$, то $$\\log_2 64 = 6$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_2 2$$

   
   

   Так как $$2^1 = 2$$, то $$\\log_2 2 = 1$$.

   
   

268.

1. 
   

   $$\\log_2 \frac{1}{2}$$

   
   

   Так как $$2^{-1} = \frac{1}{2}$$, то $$\\log_2 \frac{1}{2} = -1$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_2 8$$

   
   

   Так как $$2^3 = 8$$, то $$\\log_2 8 = 3$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_2 \sqrt{2}$$

   
   

   Так как $$\\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$, то $$\\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$$.

   
   

269.

1. 
   

   $$\\log_3 27$$

   
   

   Так как $$3^3 = 27$$, то $$\\log_3 27 = 3$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_3 81$$

   
   

   Так как $$3^4 = 81$$, то $$\\log_3 81 = 4$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_3 3$$

   
   

   Так как $$3^1 = 3$$, то $$\\log_3 3 = 1$$.

   
   

270.

1. 
   

   $$\\log_3 \frac{1}{9}$$

   
   

   Так как $$3^{-2} = \frac{1}{9}$$, то $$\\log_3 \frac{1}{9} = -2$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_3 3$$

   
   

   Так как $$3^1 = 3$$, то $$\\log_3 3 = 1$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_3 \sqrt{3}$$

   
   

   Так как $$\\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$$, то $$\\log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$$.

   
   

271.

1. 
   

   $$\\log_{\frac{1}{2}} 32$$

   
   

   Пусть $$\\log_{\frac{1}{2}} 32 = x$$. Тогда $$(\frac{1}{2})^x = 32$$.

   
   

   $$2^{-x} = 2^5$$.

   
   

   $$ -x = 5$$, следовательно $$x = -5$$.

   
   

   $$\\log_{\frac{1}{2}} 32 = -5$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_{\frac{1}{2}} 4$$

   
   

   Пусть $$\\log_{\frac{1}{2}} 4 = x$$. Тогда $$(\frac{1}{2})^x = 4$$.

   
   

   $$2^{-x} = 2^2$$.

   
   

   $$ -x = 2$$, следовательно $$x = -2$$.

   
   

   $$\\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_{0.5} 0.125$$

   
   

   Так как $$0.5 = \frac{1}{2}$$ и $$0.125 = \frac{1}{8}$$, то $$\\log_{0.5} 0.125 = \\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$$.

   
   

   Пусть $$\\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = x$$. Тогда $$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$$.

   
   

   $$2^{-x} = 2^{-3}$$.

   
   

   $$ -x = -3$$, следовательно $$x = 3$$.

   
   

   $$\\log_{0.5} 0.125 = 3$$.

   
   

272.

1. 
   

   $$\\log_5 625$$

   
   

   Так как $$5^4 = 625$$, то $$\\log_5 625 = 4$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_6 216$$

   
   

   Так как $$6^3 = 216$$, то $$\\log_6 216 = 3$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_4 16$$

   
   

   Так как $$4^2 = 16$$, то $$\\log_4 16 = 2$$.

   
   

273.

1. 
   

   $$\\log_{\frac{1}{3}} 125$$

   
   

   Это задание выглядит некорректно, так как 125 не является степенью 1/3. Возможно, имелось в виду $$\\log_5 125$$.

   
   

   Если $$\\log_5 125$$, то так как $$5^3 = 125$$, то $$\\log_5 125 = 3$$.

   
   


2. 
   

   $$\\log_{\frac{1}{3}} 27$$

   
   

   Пусть $$\\log_{\frac{1}{3}} 27 = x$$. Тогда $$(\frac{1}{3})^x = 27$$.

   
   

   $$3^{-x} = 3^3$$.

   
   

   $$ -x = 3$$, следовательно $$x = -3$$.

   
   

   $$\\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$$.

   
   


3. 
   

   $$\\log_{\frac{1}{4}} 64$$

   
   

   Пусть $$\\log_{\frac{1}{4}} 64 = x$$. Тогда $$(\frac{1}{4})^x = 64$$.

   
   

   $$(4^{-1})^x = 4^3$$.

   
   

   $$4^{-x} = 4^3$$.

   
   

   $$ -x = 3$$, следовательно $$x = -3$$.

   
   

   $$\\log_{\frac{1}{4}} 64 = -3$$.

   
   

Дополнительные задания из столбика:

• 
  

  $$\\log_{0.5} 2$$

  
  

  Пусть $$\\log_{0.5} 2 = x$$. Тогда $$(0.5)^x = 2$$. $$(\frac{1}{2})^x = 2$$. $$2^{-x} = 2^1$$. $$-x = 1$$, $$x = -1$$.

  
  

  $$\\log_{0.5} 2 = -1$$.

  
  


• 
  

  $$\\log_{0.5} 1$$

  
  

  Любой логарифм от 1 равен 0, так как $$a^0 = 1$$ для любого $$a
  e 0$$.

  
  

  $$\\log_{0.5} 1 = 0$$.

  
  


• 
  

  $$\\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2}$$

  
  

  Пусть $$\\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} = x$$. Тогда $$(\frac{1}{2})^x = \sqrt{2}$$. $$2^{-x} = 2^{\frac{1}{2}}$$. $$-x = \frac{1}{2}$$, $$x = -\frac{1}{2}$$.

  
  

  $$\\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} = -\frac{1}{2}$$.

  
  

Ответ:

• 267: 1) 4; 2) 6; 3) 1.


• 268: 1) -1; 2) 3; 3) 1/2.


• 269: 1) 3; 2) 4; 3) 1.


• 270: 1) -2; 2) 1; 3) 1/2.


• 271: 1) -5; 2) -2; 3) 3.


• 272: 1) 4; 2) 3; 3) 2.


• 273: 1) 3 (предполагая $$\\log_5 125$$); 2) -3; 3) -3.


• Дополнительные: 1) -1; 2) 0; 3) -1/2.