Вычислить без помощи калькулятора (1-5).

Решение:

1. \( \sin 103°30' \cos 13°30' - \sin 13°30' \cos 103°30' \)



Используем формулу синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)




Пусть \( \alpha = 103°30' \) и \( \beta = 13°30' \).




Тогда: \( \sin (103°30' - 13°30') = \sin 90° = 1 \).




2. \( \cos 53° \cos 8° + \sin 53° \sin 8° \)



Используем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)




Пусть \( \alpha = 53° \) и \( \beta = 8° \).




Тогда: \( \cos (53° - 8°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).




3. \( \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{6} \)



Используем формулу синуса суммы: \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)




Пусть \( \alpha = \frac{\pi}{12} \) и \( \beta = \frac{\pi}{6} \).




Тогда: \( \sin (\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = \sin (\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}) = \sin \frac{3\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).




4. \( \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{8\pi}{9} \)



Используем формулу косинуса суммы: \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)




Пусть \( \alpha = \frac{\pi}{9} \) и \( \beta = \frac{8\pi}{9} \).




Тогда: \( \cos (\frac{\pi}{9} + \frac{8\pi}{9}) = \cos \frac{9\pi}{9} = \cos \pi = -1 \).




5. \( \frac{\operatorname{tg} \frac{4\pi}{9} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}}{1 + \operatorname{tg} \frac{4\pi}{9} \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}} \)



Используем формулу тангенса разности: \( \operatorname{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)




Пусть \( \alpha = \frac{4\pi}{9} \) и \( \beta = \frac{\pi}{9} \).




Тогда: \( \operatorname{tg} (\frac{4\pi}{9} - \frac{\pi}{9}) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{9} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Ответ: 1. 1; 2. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 3. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 4. -1; 5. \(\sqrt{3}\).