Вычислить без помощи таблиц (27-28). 27.8 tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81°. 2π 4π 28. 8 cos + cos + cos 7 7 6π 7 Преобразовать в сумму (29-30). 29.94 sin a cos 30 cos 4a. 3α 30.94cos cosa sin. 2

27. tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81°

• Шаг 1: Преобразуем выражение, используя свойства тангенса:

\[ tg(9^\circ) - tg(27^\circ) - tg(63^\circ) + tg(81^\circ) = tg(9^\circ) + tg(81^\circ) - (tg(27^\circ) + tg(63^\circ)) \]

• Шаг 2: Используем формулу \( tg(x) + tg(y) = \frac{sin(x+y)}{cos(x)cos(y)} \):

\[ tg(9^\circ) + tg(81^\circ) = \frac{sin(9^\circ+81^\circ)}{cos(9^\circ)cos(81^\circ)} = \frac{sin(90^\circ)}{cos(9^\circ)sin(9^\circ)} = \frac{1}{cos(9^\circ)sin(9^\circ)} \] \[ tg(27^\circ) + tg(63^\circ) = \frac{sin(27^\circ+63^\circ)}{cos(27^\circ)cos(63^\circ)} = \frac{sin(90^\circ)}{cos(27^\circ)sin(27^\circ)} = \frac{1}{cos(27^\circ)sin(27^\circ)} \]

• Шаг 3: Используем формулу двойного угла \( sin(2x) = 2sin(x)cos(x) \) для упрощения:

\[ \frac{1}{cos(9^\circ)sin(9^\circ)} = \frac{2}{2sin(9^\circ)cos(9^\circ)} = \frac{2}{sin(18^\circ)} \] \[ \frac{1}{cos(27^\circ)sin(27^\circ)} = \frac{2}{2sin(27^\circ)cos(27^\circ)} = \frac{2}{sin(54^\circ)} \]

• Шаг 4: Подставляем обратно в исходное выражение:

\[ \frac{2}{sin(18^\circ)} - \frac{2}{sin(54^\circ)} = 2\left(\frac{1}{sin(18^\circ)} - \frac{1}{sin(54^\circ)}\right) \]

• Шаг 5: Находим значения синусов:

\[ sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}, \quad sin(54^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \]

• Шаг 6: Подставляем значения и упрощаем:

\[ 2\left(\frac{4}{\sqrt{5}-1} - \frac{4}{\sqrt{5}+1}\right) = 8\left(\frac{(\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\right) = 8\left(\frac{2}{5-1}\right) = 8\left(\frac{2}{4}\right) = 4 \]

28. cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)

• Шаг 1: Умножим и разделим выражение на \( 2sin(\frac{\pi}{7}) \):

\[ \frac{2sin(\frac{\pi}{7})}{2sin(\frac{\pi}{7})} \left(cos(\frac{2\pi}{7}) + cos(\frac{4\pi}{7}) + cos(\frac{6\pi}{7})\right) \]

• Шаг 2: Применим формулу \( 2sin(x)cos(y) = sin(y+x) - sin(y-x) \) к каждому слагаемому:

\[ = \frac{sin(\frac{3\pi}{7}) - sin(\frac{\pi}{7}) + sin(\frac{5\pi}{7}) - sin(\frac{3\pi}{7}) + sin(\frac{7\pi}{7}) - sin(\frac{5\pi}{7})}{2sin(\frac{\pi}{7})} \]

• Шаг 3: Заметим, что многие слагаемые сокращаются, и \( sin(\frac{7\pi}{7}) = sin(\pi) = 0 \):

\[ = \frac{-sin(\frac{\pi}{7})}{2sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{2} \]

29. 4 sin α cos 3α cos 4α

• Шаг 1: Используем формулу \( 2sin(x)cos(y) = sin(x+y) + sin(x-y) \):

\[ 4 sin α cos 3α cos 4α = 2 (2 sin α cos 3α) cos 4α = 2 (sin 4α + sin (-2α)) cos 4α \]

• Шаг 2: Учитываем, что \( sin(-2α) = -sin(2α) \):

\[ = 2 (sin 4α - sin 2α) cos 4α = 2 sin 4α cos 4α - 2 sin 2α cos 4α \]

• Шаг 3: Применим формулу \( 2sin(x)cos(x) = sin(2x) \) и \( 2sin(x)cos(y) = sin(x+y) + sin(x-y) \):

\[ = sin 8α - (sin 6α - sin 2α) = sin 8α - sin 6α + sin 2α \]

30. 4 cos(3α/2) cos α sin(α/2)

• Шаг 1: Используем формулу \( 2cos(x)sin(y) = sin(x+y) - sin(x-y) \):

\[ 4 cos(\frac{3α}{2}) cos α sin(\frac{α}{2}) = 2 cos(\frac{3α}{2}) (2 sin(\frac{α}{2}) cos α) = 2 cos(\frac{3α}{2}) (sin(\frac{3α}{2}) - sin(\frac{α}{2})) \]

• Шаг 2: Раскрываем скобки:

\[ = 2 cos(\frac{3α}{2}) sin(\frac{3α}{2}) - 2 cos(\frac{3α}{2}) sin(\frac{α}{2}) \]

• Шаг 3: Используем формулу \( 2sin(x)cos(x) = sin(2x) \) и \( 2sin(x)cos(y) = sin(x+y) + sin(x-y) \):

\[ = sin(3α) - (sin(2α) + sin(α)) = sin(3α) - sin(2α) - sin(α) \]