Вычислить: $$\int (\sqrt[5]{x} - 2x^3 + 4) dx$$

Решение:

Для вычисления интеграла используем правила интегрирования степенной функции и свойства интеграла:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int (f(x) - g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx \)
• \( \int c \cdot f(x) dx = c \int f(x) dx \), где \( c \) — константа.

Представим \( \sqrt[5]{x} \) как \( x^{1/5} \).

Разложим интеграл на сумму:

\[ \int (x^{1/5} - 2x^3 + 4) dx = \int x^{1/5} dx - \int 2x^3 dx + \int 4 dx \]\[ = \int x^{1/5} dx - 2 \int x^3 dx + 4 \int dx \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

1. \( \int x^{1/5} dx = \frac{x^{1/5 + 1}}{1/5 + 1} = \frac{x^{6/5}}{6/5} = \frac{5}{6} x^{6/5} \)
2. \( 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2} x^4 \)
3. \( 4 \int dx = 4x \)

Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C \):

\[ \frac{5}{6} x^{6/5} - \frac{1}{2} x^4 + 4x + C \]

Можно также представить \( x^{6/5} \) как \( x \sqrt[5]{x} \).

Ответ: \( \frac{5}{6} x^{6/5} - \frac{1}{2} x^4 + 4x + C \).