Вычислить \(\int (x+4) e^{4x} dx\)

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).

Пусть \( u = x+4 \) и \( dv = e^{4x} dx \).

Тогда найдём \( du \) и \( v \):

• \( du = d(x+4) = dx \)
• \( v = \int e^{4x} dx = \frac{1}{4} e^{4x} \)

Теперь подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

\[ \int (x+4) e^{4x} dx = (x+4) \cdot \frac{1}{4} e^{4x} - \int \frac{1}{4} e^{4x} dx \]\[ = \frac{1}{4} (x+4) e^{4x} - \frac{1}{4} \int e^{4x} dx \]\[ = \frac{1}{4} (x+4) e^{4x} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} e^{4x} \right) + C \]\[ = \frac{1}{4} (x+4) e^{4x} - \frac{1}{16} e^{4x} + C \]\[ = e^{4x} \left( \frac{1}{4} (x+4) - \frac{1}{16} \right) + C \]\[ = e^{4x} \left( \frac{4(x+4) - 1}{16} \right) + C \]\[ = e^{4x} \left( \frac{4x + 16 - 1}{16} \right) + C \]\[ = e^{4x} \left( \frac{4x + 15}{16} \right) + C \]

Ответ: \( \frac{e^{4x}(4x+15)}{16} + C \).