Вычислить интеграл $$\int_{0}^{1} (12x^3 - 11)dx$$.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) сначала найдём первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \), а затем вычислим \( F(b) - F(a) \).

1. Найдём первообразную для \( f(x) = 12x^3 - 11 \):
   \( F(x) = \int (12x^3 - 11) dx = 12 \int x^3 dx - \int 11 dx \)
   Используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int k dx = kx + C \), получим:
   \( F(x) = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 11x + C = 12 \cdot \frac{x^4}{4} - 11x + C = 3x^4 - 11x + C \)
2. Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования \( a=0 \) и \( b=1 \) в первообразную (константу \( C \) можно опустить, так как она сократится):
   \( \int_{0}^{1} (12x^3 - 11)dx = [3x^4 - 11x]_{0}^{1} \)
   \( = (3 \cdot 1^4 - 11 \cdot 1) - (3 \cdot 0^4 - 11 \cdot 0) \)
   \( = (3 - 11) - (0 - 0) \)
   \( = -8 - 0 \)
   \( = -8 \)

Ответ: -8