Вычислить интеграл: \( \int (\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[4]{x} + 5x + 1) dx \)

Решение:

Для вычисления интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла и правилом интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

1. Представим корни в виде степеней: \( \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \) и \( \sqrt[4]{x} = x^{1/4} \).
2. Разобьём интеграл на сумму интегралов: \( \int (x^{1/3} - 2x^{1/4} + 5x + 1) dx = \int x^{1/3} dx - \int 2x^{1/4} dx + \int 5x dx + \int 1 dx \).
3. Применим правило интегрирования степенной функции к каждому члену:
   • \( \int x^{1/3} dx = \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3} \)
   • \( \int 2x^{1/4} dx = 2 \int x^{1/4} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{5/4}}{5/4} = 2 \cdot \frac{4}{5}x^{5/4} = \frac{8}{5}x^{5/4} \)
   • \( \int 5x dx = 5 \int x^1 dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2 \)
   • \( \int 1 dx = x \)
4. Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C \):
   \[ \int (\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[4]{x} + 5x + 1) dx = \frac{3}{4}x^{4/3} - \frac{8}{5}x^{5/4} + \frac{5}{2}x^2 + x + C \]
5. Вернёмся к записи с корнями: \( x^{4/3} = x \cdot x^{1/3} = x\sqrt[3]{x} \), \( x^{5/4} = x \cdot x^{1/4} = x\sqrt[4]{x} \).
   \[ \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} - \frac{8}{5}x\sqrt[4]{x} + \frac{5}{2}x^2 + x + C \]

Ответ: \( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} - \frac{8}{5}x\sqrt[4]{x} + \frac{5}{2}x^2 + x + C \).