Вычислить интеграл $\int ((\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2})\cdot x^{-1})\,dx$.

Question

$Фото задания: Вычислить интеграл $\int ((\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2})\cdot x^{-1})\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем подынтегральное выражение:

$\displaystyle \int \left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)x^{-1}\,dx=\int \left(x^{\frac12}+x^{\frac23}\right)x^{-1}\,dx$.

Умножим степени:

$\displaystyle =\int \left(x^{\frac12-1}+x^{\frac23-1}\right)dx=\int \left(x^{-\frac12}+x^{-\frac13}\right)dx$.

Применим правило $\displaystyle \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$:

$\displaystyle \int x^{-\frac12}dx=\frac{x^{\frac12}}{\frac12}=2\sqrt{x}$.

$\displaystyle \int x^{-\frac13}dx=\frac{x^{\frac23}}{\frac23}=\frac32x^{\frac23}=\frac32\sqrt[3]{x^2}$.

Ответ: $\displaystyle 2\sqrt{x}+\frac32\sqrt[3]{x^2}+C$.

Вычислить интеграл \(\int ((\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2})\cdot x^{-1})\,dx\).