Вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования: 1. 2. 3. 4. (x² - 4x3 + 2x)dx 5. 6. Вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования: 7. 10. (x² + 1) dx 8. 11. 9. 12.

Ответ: Решения интегралов ниже

1. \[\int 6x^4 dx = 6 \int x^4 dx = 6 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 6 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{6}{5}x^5 + C\]
2. \[\int \frac{dx}{x^5} = \int x^{-5} dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C\]
3. \[\int (-2t^3 + 6t^2) dt = -2 \int t^3 dt + 6 \int t^2 dt = -2 \cdot \frac{t^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = -2 \cdot \frac{t^4}{4} + 6 \cdot \frac{t^3}{3} + C = -\frac{1}{2}t^4 + 2t^3 + C\]
4. \[\int \frac{dx}{12x} = \frac{1}{12} \int \frac{dx}{x} = \frac{1}{12} \ln|x| + C\]
5. \[\int (x^4 - 4x^3 + 2x) dx = \int x^4 dx - 4 \int x^3 dx + 2 \int x dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{5}x^5 - x^4 + x^2 + C\]
6. \[\int 7 dx = 7 \int dx = 7x + C\]
7. \[\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = \left[x^2 - 3x\right]_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20\]
8. \[\int_{-2\pi}^{0} (5 - 4x) dx = \left[5x - 2x^2\right]_{-2\pi}^{0} = (5 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2) - (5 \cdot (-2\pi) - 2 \cdot (-2\pi)^2) = 0 - (-10\pi - 8\pi^2) = 10\pi + 8\pi^2\]
9. \[\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx = \left[x - x^3\right]_{-1}^{2} = (2 - 2^3) - (-1 - (-1)^3) = (2 - 8) - (-1 + 1) = -6 - 0 = -6\]
10. \[\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1) - (\frac{0^3}{3} + 0) = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}\]
11. \[\int_{0}^{1} (3x^2 - 4x + 5) dx = \left[x^3 - 2x^2 + 5x\right]_{0}^{1} = (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1) - (0^3 - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0) = (1 - 2 + 5) - 0 = 4\]
12. \[\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx = \left[x^5 - 2x^4\right]_{0}^{1} = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = (1 - 2) - 0 = -1\]

Ответ: Решения интегралов выше