Вычислить криволинейный интеграл $$\int_{(1;2)}^{(0;0)} \frac{x}{x^2-y^2} dx - \frac{y}{x^2-y^2} dy$$, предварительно убедившись, что он не зависит от контура интегрирования.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Пусть $$P(x, y) = \frac{x}{x^2-y^2}$$ и $$Q(x, y) = -\frac{y}{x^2-y^2}$$.

1. Шаг 1: Проверяем условие независимости от контура интегрирования. Необходимо найти частные производные:
   \( \frac{\partial P}{\partial y} \) и \( \frac{\partial Q}{\partial x} \).
2. Шаг 2: Вычисляем \( \frac{\partial P}{\partial y} \):
   \( \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{x^2-y^2} \right) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2-y^2)^{-1} = x \cdot (-1)(x^2-y^2)^{-2} \cdot (-2y) = \frac{2xy}{(x^2-y^2)^2} \)
3. Шаг 3: Вычисляем \( \frac{\partial Q}{\partial x} \):
   \( \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{y}{x^2-y^2} \right) = -y \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2-y^2)^{-1} = -y \cdot (-1)(x^2-y^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2xy}{(x^2-y^2)^2} \)
4. Шаг 4: Сравниваем частные производные.
   Мы видим, что \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2xy}{(x^2-y^2)^2} \) и \( \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2xy}{(x^2-y^2)^2} \).
   Так как \( \frac{\partial P}{\partial y}
   eq \frac{\partial Q}{\partial x} \), криволинейный интеграл зависит от контура интегрирования.

Вывод: Условие независимости от контура интегрирования не выполнено. Следовательно, данный интеграл не может быть вычислен простым методом, основанным на нахождении первообразной функции, без указания конкретного пути интегрирования.