1. Вычислить: 1) log3 27 2) ( 1 3 )2log 7 3) log2 56+2log2 12-log2 63 2. В одной системе координат схематически построить графики функций у = log4 х и у = 4* 3. Найти область определения функции у = 1g (-x2 – 5x + 14) 4. Решите неравенство и укажите все его целые решения log, (2x+3) < log₁ (3x-2) 5. Решите неравенство: a) logs (x-3) < 2; 6) log, (x3,5) + log, (x-2) <1 6. Решите уравнение: a) log4(2x + 3) = 3; 6) log3(x8) + log3 x = 2 B) log0.2 x + logo.2 x 6 = 0 7. Решите систему уравнений log, x-log; y = 1, [10 x-2y = 8

Задание 1. Вычислить:

1) \( \log_3 \frac{1}{27} \)

Давай вспомним, что такое логарифм. Логарифм числа b по основанию a – это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. В данном случае, нужно найти степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить \( \frac{1}{27} \).

Заметим, что \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \). Следовательно, \( \log_3 \frac{1}{27} = -3 \).

Ответ: -3

2) \( \left( \frac{1}{3} \right)^{2 \log_7 7} \)

Здесь нужно вспомнить свойства логарифмов. В частности, \( \log_a a = 1 \). Поэтому \( \log_7 7 = 1 \), и выражение упрощается до \( \left( \frac{1}{3} \right)^{2 \cdot 1} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \).

Теперь вычисляем \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \).

Ответ: \( \frac{1}{9} \)

3) \( \log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63 \)

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение. Сначала вспомним, что \( a \log_b c = \log_b c^a \). Тогда \( 2 \log_2 12 = \log_2 12^2 = \log_2 144 \).

Теперь выражение выглядит так: \( \log_2 56 + \log_2 144 - \log_2 63 \). Вспомним, что \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \) и \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

Тогда \( \log_2 56 + \log_2 144 = \log_2 (56 \cdot 144) \). Затем \( \log_2 (56 \cdot 144) - \log_2 63 = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} \).

Упростим дробь: \( \frac{56 \cdot 144}{63} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 16 \cdot 9}{9 \cdot 7} = 8 \cdot 16 = 128 \). Получаем \( \log_2 128 \).

Так как \( 128 = 2^7 \), то \( \log_2 128 = 7 \).

Ответ: 7

Задание 2. В одной системе координат схематически построить графики функций \( y = \log_4 x \) и \( y = 4^x \)

Графики функций \( y = \log_4 x \) и \( y = 4^x \) являются взаимно обратными и симметричны относительно прямой \( y = x \). График функции \( y = 4^x \) – это показательная функция, которая возрастает и проходит через точку (0, 1). График функции \( y = \log_4 x \) – это логарифмическая функция, которая возрастает и проходит через точку (1, 0).

Задание 3. Найти область определения функции \( y = \lg(-x^2 - 5x + 14) \)

Область определения логарифмической функции – это множество таких x, при которых аргумент логарифма больше нуля. То есть, нужно решить неравенство \( -x^2 - 5x + 14 > 0 \). Домножим на -1: \( x^2 + 5x - 14 < 0 \).

Решим квадратное уравнение \( x^2 + 5x - 14 = 0 \). Дискриминант \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \). Корни: \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7 \).

Теперь решим неравенство \( (x - 2)(x + 7) < 0 \). Это неравенство выполняется между корнями, то есть при \( -7 < x < 2 \).

Ответ: \( (-7, 2) \)

Задание 4. Решите неравенство и укажите все его целые решения \( \log_{\frac{1}{7}} (2x+3) < \log_{\frac{1}{7}} (3x-2) \)

Так как основание логарифма меньше 1, то логарифмическая функция убывает. Значит, при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется: \( 2x + 3 > 3x - 2 \). Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными: \( 2x + 3 > 0 \) и \( 3x - 2 > 0 \).

Решим неравенство \( 2x + 3 > 3x - 2 \): \( 5 > x \) или \( x < 5 \).

Решим неравенство \( 2x + 3 > 0 \): \( x > -\frac{3}{2} = -1.5 \).

Решим неравенство \( 3x - 2 > 0 \): \( x > \frac{2}{3} \).

Объединяя все условия, получаем \( \frac{2}{3} < x < 5 \). Целые решения: 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4

Задание 5. Решите неравенство:

а) \( \log_5 (x-3) < 2 \)

Перепишем неравенство в виде \( \log_5 (x-3) < \log_5 25 \). Так как основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция возрастает. Значит, при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется: \( x - 3 < 25 \). Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным: \( x - 3 > 0 \).

Решим неравенство \( x - 3 < 25 \): \( x < 28 \).

Решим неравенство \( x - 3 > 0 \): \( x > 3 \).

Объединяя оба условия, получаем \( 3 < x < 28 \).

Ответ: \( (3, 28) \)

б) \( \log_7 (x - 3.5) + \log_7 (x - 2) < 1 \)

Воспользуемся свойством логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). Тогда \( \log_7 ((x - 3.5)(x - 2)) < 1 \). Перепишем в виде \( \log_7 ((x - 3.5)(x - 2)) < \log_7 7 \).

Так как основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция возрастает. Значит, при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется: \( (x - 3.5)(x - 2) < 7 \). Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными: \( x - 3.5 > 0 \) и \( x - 2 > 0 \).

Раскроем скобки и упростим неравенство: \( x^2 - 5.5x + 7 < 7 \), \( x^2 - 5.5x < 0 \), \( x(x - 5.5) < 0 \). Решения этого неравенства: \( 0 < x < 5.5 \).

Решим неравенство \( x - 3.5 > 0 \): \( x > 3.5 \).

Решим неравенство \( x - 2 > 0 \): \( x > 2 \).

Объединяя все условия, получаем \( 3.5 < x < 5.5 \).

Ответ: \( (3.5, 5.5) \)

Задание 6. Решите уравнение:

а) \( \log_4 (2x + 3) = 3 \)

Перепишем уравнение в показательной форме: \( 2x + 3 = 4^3 \), \( 2x + 3 = 64 \), \( 2x = 61 \), \( x = \frac{61}{2} = 30.5 \).

Ответ: 30.5

б) \( \log_3 (x - 8) + \log_3 x = 2 \)

Воспользуемся свойством логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). Тогда \( \log_3 (x(x - 8)) = 2 \). Перепишем в показательной форме: \( x(x - 8) = 3^2 \), \( x^2 - 8x = 9 \), \( x^2 - 8x - 9 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \). Корни: \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \) и \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \).

Проверим корни. Если \( x = 9 \), то \( \log_3 (9 - 8) + \log_3 9 = \log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2 \). Если \( x = -1 \), то \( \log_3 (-1 - 8) \) не существует, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: 9

в) \( \log_{0.2}^2 x + \log_{0.2} x - 6 = 0 \)

Пусть \( t = \log_{0.2} x \). Тогда уравнение примет вид \( t^2 + t - 6 = 0 \). Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \). Корни: \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).

Вернемся к переменной x. Если \( \log_{0.2} x = 2 \), то \( x = (0.2)^2 = 0.04 \). Если \( \log_{0.2} x = -3 \), то \( x = (0.2)^{-3} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3} = 5^3 = 125 \).

Ответ: 0.04, 125

Задание 7. Решите систему уравнений

\[ \begin{cases} \log_3 x - \log_3 y = 1, \\ x - 2y = 8 \end{cases} \]

Из первого уравнения: \( \log_3 \frac{x}{y} = 1 \), следовательно, \( \frac{x}{y} = 3 \), то есть \( x = 3y \). Подставим это во второе уравнение: \( 3y - 2y = 8 \), значит, \( y = 8 \). Тогда \( x = 3 \cdot 8 = 24 \).

Ответ: x = 24, y = 8

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!