Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: \(\int_1^\infty \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\)

Решение:

Чтобы вычислить несобственный интеграл \(\int_1^\infty \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\), сначала найдем неопределенный интеграл \(\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\).

Выделим полный квадрат в знаменателе:

\(x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1\)

Теперь интеграл принимает вид:

\(\int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1}\)

Сделаем замену переменной \(u = x+2\), тогда \(du = dx\). Интеграл становится:

\(\int \frac{du}{u^2 + 1}\)

Это табличный интеграл, равный арктангенсу:

\(\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C\)

Подставляем обратно \(u = x+2\):

\(\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} = \arctan(x+2) + C\)

Теперь вычислим несобственный интеграл, используя предел:

\[ \int_1^\infty \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} = \textrm{lim}_{b \to \to \text{inf}} \textrm{lim}_{a \to -\text{inf}} \left[ \arctan(x+2) \right]_1^b \]

Для несобственного интеграла с нижним пределом 1 и верхним пределом \(\to\text{inf}\):

\[ \textrm{lim}_{b \to \to \text{inf}} \left[ \arctan(x+2) \right]_1^b = \textrm{lim}_{b \to \to \text{inf}} (\arctan(b+2) - \arctan(1+2)) \]

\[ = \textrm{lim}_{b \to \to \text{inf}} \arctan(b+2) - \arctan(3) \]

Поскольку \(\textrm{lim}_{y \to \to \text{inf}} \arctan(y) = \frac{\pi}{2}\), то:

\[ = \frac{\pi}{2} - \arctan(3) \]

Значение \(\arctan(3)\) является конечным числом.

Следовательно, интеграл сходится.

Ответ: Интеграл сходится и равен \(\frac{\pi}{2} - \arctan(3)\).