3. Вычислить объем тела: 1.Полученного при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у = , прямыми х = 3, x=12 и осью абсцисс. 2. Полученного при вращении вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми у = 0,5х, х = 4, x=6 и осью абсцисс.

1. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой $$y = \frac{4}{x}$$, прямыми $$x = 3$$, $$x = 12$$ и осью абсцисс.

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $$y = f(x)$$, прямыми $$x = a$$ и $$x = b$$, вычисляется по формуле:

$$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$$

В данном случае, $$f(x) = \frac{4}{x}$$, $$a = 3$$, $$b = 12$$. Следовательно,

$$V = \pi \int_{3}^{12} \left(\frac{4}{x}\right)^2 dx = \pi \int_{3}^{12} \frac{16}{x^2} dx = 16\pi \int_{3}^{12} \frac{1}{x^2} dx$$

Находим первообразную функции $$\frac{1}{x^2}$$:

$$F(x) = -\frac{1}{x}$$

Вычисляем определённый интеграл:

$$V = 16\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{3}^{12} = 16\pi \left( -\frac{1}{12} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = 16\pi \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{3} \right)$$ $$V = 16\pi \left( \frac{-1 + 4}{12} \right) = 16\pi \cdot \frac{3}{12} = 16\pi \cdot \frac{1}{4} = 4\pi$$

2. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox трапеции, образованной прямыми $$y = 0.5x$$, $$x = 4$$, $$x = 6$$ и осью абсцисс.

В данном случае, $$f(x) = 0.5x$$, $$a = 4$$, $$b = 6$$. Следовательно,

$$V = \pi \int_{4}^{6} (0.5x)^2 dx = \pi \int_{4}^{6} 0.25x^2 dx = 0.25\pi \int_{4}^{6} x^2 dx$$

Находим первообразную функции $$x^2$$:

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Вычисляем определённый интеграл:

$$V = 0.25\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{4}^{6} = 0.25\pi \left( \frac{6^3}{3} - \frac{4^3}{3} \right) = 0.25\pi \left( \frac{216}{3} - \frac{64}{3} \right) = 0.25\pi \cdot \frac{152}{3}$$ $$V = \frac{152}{12} \pi = \frac{38}{3} \pi$$

Ответ: 1) $$4\pi$$; 2) $$\frac{38}{3} \pi$$