3. Вычислить определенные интегралы: 1) ∫₁⁻₁(5x⁴−2x+1) dx 2) ∫₁⁻₁(x³−x⁴) dx 4. Для функции f(х) найти первообразную, график который проходит через точку: f(x) = 6x³−2x+2, M(-2;5) 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: f(x) = -x²+1, x₁ = -2,x₂ = 1, y = 0

3. Вычисление определенных интегралов

1. ∫₁⁻₁(5x⁴−2x+1) dx
   • Первообразная функции: F(x) = x⁵ - x² + x
   • Вычисляем интеграл как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:
   • F(1) = 1⁵ - 1² + 1 = 1
   • F(-1) = (-1)⁵ - (-1)² + (-1) = -1 - 1 - 1 = -3
   • ∫₁⁻₁(5x⁴−2x+1) dx = F(1) - F(-1) = 1 - (-3) = 4
2. ∫₁⁻₁(x³−x⁴) dx
   • Первообразная функции: F(x) = (x⁴/4) - (x⁵/5)
   • Вычисляем интеграл как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:
   • F(1) = (1⁴/4) - (1⁵/5) = 1/4 - 1/5 = 5/20 - 4/20 = 1/20
   • F(-1) = ((-1)⁴/4) - ((-1)⁵/5) = 1/4 - (-1/5) = 1/4 + 1/5 = 5/20 + 4/20 = 9/20
   • ∫₁⁻₁(x³−x⁴) dx = F(1) - F(-1) = 1/20 - 9/20 = -8/20 = -2/5

4. Нахождение первообразной функции

• Дана функция: f(x) = 6x³ - 2x + 2
• Находим первообразную: F(x) = ∫ (6x³ - 2x + 2) dx = (6/4)x⁴ - x² + 2x + C = (3/2)x⁴ - x² + 2x + C
• Используем точку M(-2;5) для нахождения константы C:
• 5 = (3/2)(-2)⁴ - (-2)² + 2(-2) + C
• 5 = (3/2)(16) - 4 - 4 + C
• 5 = 24 - 4 - 4 + C
• 5 = 16 + C
• C = 5 - 16 = -11
• Первообразная: F(x) = (3/2)x⁴ - x² + 2x - 11

5. Нахождение площади фигуры

• Дана функция: f(x) = -x² + 1, x₁ = -2, x₂ = 1, y = 0
• Находим площадь фигуры как определенный интеграл от функции f(x) на интервале от x₁ до x₂:
• S = ∫₋₂¹ |-x² + 1| dx
• Разбиваем интеграл на два, так как функция меняет знак на интервале [-2, 1]:
• S = ∫₋₂⁻¹ (-(-x² + 1)) dx + ∫₋₁¹ (-x² + 1) dx
• S = ∫₋₂⁻¹ (x² - 1) dx + ∫₋₁¹ (-x² + 1) dx
• Первообразные функций:
• F₁(x) = (x³/3) - x
• F₂(x) = -(x³/3) + x
• Вычисляем интегралы:
• ∫₋₂⁻¹ (x² - 1) dx = F₁(x) |₋₂⁻¹ = ((-1)³/3 - (-1)) - ((-2)³/3 - (-2)) = (-1/3 + 1) - (-8/3 + 2) = 2/3 - (-2/3) = 4/3
• ∫₋₁¹ (-x² + 1) dx = F₂(x) |₋₁¹ = (-(1)³/3 + 1) - (-(-1)³/3 + (-1)) = (-1/3 + 1) - (1/3 - 1) = 2/3 - (-2/3) = 4/3
• S = 4/3 + 4/3 = 8/3