Вычислить определенный интеграл: \(\int_{-1}^{3} (3x^3 - 4) dx\)

Решение:

Вычислим определенный интеграл \(\int_{-1}^{3} (3x^3 - 4) dx\).

1. Найдём первообразную функции \(f(x) = 3x^3 - 4\):
   \(F(x) = \int (3x^3 - 4) dx = 3 \int x^3 dx - \int 4 dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} - 4x + C = \frac{3}{4}x^4 - 4x + C\)
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).
   \(\int_{-1}^{3} (3x^3 - 4) dx = \left[ \frac{3}{4}x^4 - 4x \right]_{-1}^{3}\)
3. Подставим верхний предел интегрирования (3):
   \(F(3) = \frac{3}{4}(3)^4 - 4(3) = \frac{3}{4} x 81 - 12 = \frac{243}{4} - 12 = \frac{243 - 48}{4} = \frac{195}{4}\)
4. Подставим нижний предел интегрирования (-1):
   \(F(-1) = \frac{3}{4}(-1)^4 - 4(-1) = \frac{3}{4}(1) + 4 = \frac{3}{4} + 4 = \frac{3 + 16}{4} = \frac{19}{4}\)
5. Вычислим разность:
   \(F(3) - F(-1) = \frac{195}{4} - \frac{19}{4} = \frac{195 - 19}{4} = \frac{176}{4} = 44\)

Ответ: 44