Вычислить определенный интеграл \( \int_{-2}^{2} (\sin x - 2x + 3x^3)dx \)

Решение:

Так как подынтегральная функция \( f(x) = \sin x - 2x + 3x^3 \) является нечётной (свойство нечётных функций: \( f(-x) = -f(x) \)), то интеграл от неё по симметричному интервалу \( [-2, 2] \) равен нулю.

Проверим: \( f(-x) = \sin(-x) - 2(-x) + 3(-x)^3 = -\sin x + 2x - 3x^3 = -(\sin x - 2x + 3x^3) = -f(x) \).

Следовательно, \( \int_{-2}^{2} (\sin x - 2x + 3x^3)dx = 0 \).

Ответ: 0