Вычислить площадь фигуры, граниченной прямой у = X-2 и гараболой у = х²-4х + 2.

Решение:

Для начала, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций, нужно определить точки пересечения этих графиков. Это делается путем приравнивания функций друг к другу:

\[x - 2 = x^2 - 4x + 2\]

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x + 4 = 0\]

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь корни легко находятся подбором:

\[x_1 = 1, \quad x_2 = 4\]

Теперь, когда мы нашли точки пересечения, можно вычислить площадь фигуры. Площадь между двумя кривыми находится как интеграл от разности функций в пределах от меньшего корня к большему:

\[S = \int_{1}^{4} |(x - 2) - (x^2 - 4x + 2)| dx\]

Упростим выражение под интегралом:

\[S = \int_{1}^{4} |x - 2 - x^2 + 4x - 2| dx = \int_{1}^{4} |-x^2 + 5x - 4| dx\]

Так как на интервале от 1 до 4 выражение \(-x^2 + 5x - 4\) неотрицательно (можно проверить, подставив, например, x = 2), то модуль можно опустить:

\[S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx\]

Теперь найдем интеграл:

\[S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right]_{1}^{4}\]

Подставим пределы интегрирования:

\[S = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right)\] \[S = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right)\] \[S = \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right)\] \[S = -\frac{64}{3} + 24 + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\] \[S = -\frac{63}{3} + 28 - \frac{5}{2}\] \[S = -21 + 28 - \frac{5}{2}\] \[S = 7 - \frac{5}{2}\] \[S = \frac{14}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\] \[S = 4.5\]

Ответ: 4.5