Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x): f(x)=x+3, g(x) = x²+1

Ответ: 4.5

Пошаговое решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций:
• Приравняем f(x) и g(x):
  \[x + 3 = x^2 + 1\]
• Приведем уравнение к стандартному виду:
  \[x^2 - x - 2 = 0\]
• Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
  \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]
  \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]
  \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]
• Точки пересечения: x = -1 и x = 2.
2. Определим, какая функция больше на интервале [-1, 2]:
• Возьмем точку x = 0 (середина интервала).
• Вычислим значения функций в этой точке:
  f(0) = 0 + 3 = 3
  g(0) = 0^2 + 1 = 1
• Так как f(0) > g(0), то f(x) > g(x) на интервале [-1, 2].
3. Вычислим площадь фигуры:
• Площадь равна интегралу от разности функций f(x) и g(x) на интервале [-1, 2]:
  \[S = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx\]
• Найдем первообразную функции:
  \[F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\]
• Вычислим значение первообразной в точках 2 и -1:
  \[F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3}\]
  \[F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = -\frac{7}{6}\]
• Вычислим площадь:
  \[S = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5\]

Ответ: 4.5