Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением y = -x² + 1, и осью Ох.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линией \( y = -x^2 + 1 \) и осью Ох, нам нужно определить пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, то есть приравняем \( y \) к нулю:

\[ -x^2 + 1 = 0 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = 1 \text{ и } x = 1 \]

Теперь вычислим площадь как определенный интеграл от функции \( y = -x^2 + 1 \) в пределах от \( -1 \) до \( 1 \):

\[ S = _{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx \]

Находим первообразную:

\[ F(x) = -\frac{x^3}{3} + x \]

Вычисляем определенный интеграл:

\[ S = F(1) - F(-1) = \left(-\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)\right) \]
\[ S = \left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) \]
\[ S = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \]
\[ S = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \).