Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4 - x², y = x + 2

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \( y = 4 - x^2 \) и \( y = x + 2 \), сначала найдём точки их пересечения. Приравниваем правые части уравнений:

\( 4 - x^2 = x + 2 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Теперь вычислим площадь фигуры, используя определённый интеграл:

\( S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx \)

\( S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) dx \)

\( S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \)

Вычисляем интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \)

Подставляем верхний предел:

\( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6} \)

Подставляем нижний предел:

\( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3} \)

Вычисляем разность:

\( S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Площадь фигуры равна \( 4.5 \) квадратным единицам.

Ответ: 4,5 (ед²)