Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 5, y = 9, x = -1, x = -2

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 5 \), \( y = 9 \), \( x = -1 \), \( x = -2 \).

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{низ}) dx \]

В данном случае, верхняя граница — \( y = 9 \), а нижняя — \( y = x^2 + 5 \). Пределы интегрирования — от \( x = -2 \) до \( x = -1 \).

\[ S = \int_{-2}^{-1} (9 - (x^2 + 5)) dx \] \[ S = \int_{-2}^{-1} (4 - x^2) dx \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{-1} \]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[ S = \left( 4(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ S = \left( -4 - \frac{-1}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \] \[ S = \left( -4 + \frac{1}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ S = -4 + \frac{1}{3} + 8 - \frac{8}{3} \] \[ S = 4 - \frac{7}{3} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ S = \frac{12}{3} - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} \]

Переведём дробь в смешанное число:

\[ S = 1 \frac{2}{3} \]

Единицы измерения площади — квадратные единицы.

Ответ: 1⅒/₃ (ед²)