Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: 19. y = x²+1, y = 3-x f20. y=(x + 2)²,y = x + 2 21. y=x² + 1, y = 3-x² 24. y=x², y = 2-x Вычислить интеграл и результат проверить дифференцированием: 25. Скорость движения материальной точки задается формулой у (t) = (4t2 -2t +1)м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения. 28. Точка движется по закону = v(t) 23 3t. Чему равна скорость в момент времени = 1

Ответ: Будет решено ниже

19. y = x²+1, y = 3-x

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала нужно найти точки пересечения этих графиков.

• Решаем уравнение: x² + 1 = 3 - x
• Преобразуем: x² + x - 2 = 0
• Находим корни квадратного уравнения:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

• Теперь найдем площадь фигуры как интеграл от разности функций:

\[S = \int_{-2}^{1} (3 - x - (x^2 + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - \frac{4}{2} + \frac{8}{3}\right) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{1}{2} - \frac{9}{3} = 8 - \frac{1}{2} - 3 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\]

Ответ: 4.5

f20. y=(x + 2)², y = x + 2

• Решаем уравнение: (x + 2)² = x + 2
• Преобразуем: x² + 4x + 4 = x + 2
• x² + 3x + 2 = 0

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\]

\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2\]

\[S = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x + 2)^2) dx = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x^2 + 4x + 4)) dx = \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 3x - 2) dx\]

\[S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x\right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4\right) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6 - 4 = \frac{1}{3} - \frac{8}{3} - \frac{3}{2} + 4 = -\frac{7}{3} - \frac{3}{2} + 4 = \frac{-14 - 9 + 24}{6} = \frac{1}{6}\]

Ответ: 1/6

21. y=x² + 1, y = 3-x²

• Решаем уравнение: x² + 1 = 3 - x²
• Преобразуем: 2x² = 2
• x² = 1
• x_1 = 1, x_2 = -1

\[S = \int_{-1}^{1} (3 - x^2 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx\]

\[S = \left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(2 - \frac{2}{3}\right) - \left(-2 + \frac{2}{3}\right) = 2 - \frac{2}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3}\]

Ответ: 8/3

24. y=x², y = 2-x

• Решаем уравнение: x² = 2 - x
• Преобразуем: x² + x - 2 = 0

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

\[S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx\]

\[S = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - \frac{4}{2} + \frac{8}{3}\right) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{1}{2} - \frac{9}{3} = 8 - \frac{1}{2} - 3 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\]

Ответ: 9/2

25. Скорость движения материальной точки задается формулой у (t) = (4t² -2t +1)м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения.

Путь, пройденный точкой, равен интегралу от скорости по времени.

\[S = \int_{0}^{4} (4t^2 - 2t + 1) dt\]

\[S = \left[\frac{4t^3}{3} - t^2 + t\right]_{0}^{4} = \frac{4 \cdot 4^3}{3} - 4^2 + 4 - 0 = \frac{256}{3} - 16 + 4 = \frac{256}{3} - 12 = \frac{256 - 36}{3} = \frac{220}{3}\]

Ответ: 220/3

28. Точка движется по закону = v(t) 2t³ 3t. Чему равна скорость в момент времени = 1

Дано уравнение скорости v(t) = 2t³ - 3t. Нужно найти скорость в момент времени t = 1.

\[v(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1\]

Ответ: -1

Ответ: 4.5