Вычислить площадь фигуры, предварительно сделав рисунок, ограниченной линиями: 1. f(x) = x²+5x+6; x=-1; x=2 2. f(x) = x²-6x+8; x=-2; x=-1 3. f(x) = 2x-x²; и осью абцисс 4. f(x) = x²-6x+9 и прямой x=+2. 5. f(x) = x² + 8x + 16 и прямой x=-2 6. f(x) = x²-6x+10; x=-1; x=3

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала построить графики функций и прямых, а затем определить пределы интегрирования.

1. \( f(x) = x^2 + 5x + 6 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \): \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2} \), то есть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -2 \). Вершина параболы находится в \( x = -2.5 \).

Площадь вычисляется как определённый интеграл от \( -1 \) до \( 2 \) по функции \( f(x) \).

\( S_1 = \int_{-1}^{2} (x^2 + 5x + 6) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{-1}^{2} \)

\( = \left( \frac{2^3}{3} + \frac{5(2^2)}{2} + 6(2) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 6(-1) \right) \)

\( = \left( \frac{8}{3} + 10 + 12 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) \)

\( = \frac{8}{3} + 22 + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6 = \frac{9}{3} + 28 - \frac{5}{2} = 3 + 28 - 2.5 = 31 - 2.5 = 28.5 \) кв. ед.

2. \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \), \( x = -2 \), \( x = -1 \).

Найдем корни \( x^2 - 6x + 8 = 0 \): \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \), то есть \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 4 \). Вершина параболы находится в \( x = 3 \).

Площадь вычисляется как определённый интеграл от \( -2 \) до \( -1 \) по функции \( f(x) \).

\( S_2 = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 6x + 8) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_{-2}^{-1} \)

\( = \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 8(-1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2 + 8(-2) \right) \)

\( = \left( -\frac{1}{3} - 3 - 8 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 12 - 16 \right) \)

\( = -\frac{1}{3} - 11 + \frac{8}{3} + 28 = \frac{7}{3} + 17 = \frac{7 + 51}{3} = \frac{58}{3} \) кв. ед.

3. \( f(x) = 2x - x^2 \) и осью абцисс (y=0).

Найдем корни \( 2x - x^2 = 0 \): \( x(2 - x) = 0 \), то есть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Вершина параболы находится в \( x = 1 \).

Площадь вычисляется как определённый интеграл от \( 0 \) до \( 2 \) по функции \( f(x) \).

\( S_3 = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \)

\( = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \) кв. ед.

4. \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \) и прямой \( x = +2 \).

Это парабола \( f(x) = (x-3)^2 \) с вершиной в \( x=3 \). Прямая \( x=2 \) и ось абсцисс \( y=0 \) ограничат фигуру. Требуется дополнительная граница.

Если предполагается, что фигура ограничена осью абсцисс, прямой \( x=2 \) и параболой, то, вероятно, имеется в виду интервал от точки пересечения параболы с осью x до \( x=2 \) или от \( x=2 \) до точки пересечения с осью x. Корни \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) дают \( x=3 \) (один корень).

Предположим, что фигура ограничена осью абсцисс, прямой \( x=2 \) и параболой, а также осью ординат \( x=0 \).

\( S_4 = \int_{0}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{2} \)

\( = \left( \frac{2^3}{3} - 3(2^2) + 9(2) \right) - (0) = \frac{8}{3} - 12 + 18 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3} \) кв. ед.

5. \( f(x) = x^2 + 8x + 16 \) и прямой \( x = -2 \).

Это парабола \( f(x) = (x+4)^2 \) с вершиной в \( x=-4 \). Ограничивающие линии: ось абсцисс \( y=0 \) и прямая \( x=-2 \). Если также предполагается ось ординат \( x=0 \), то:

\( S_5 = \int_{-2}^{0} (x^2 + 8x + 16) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x \right]_{-2}^{0} \)

\( = (0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 4(-2)^2 + 16(-2) \right) \)

\( = - \left( -\frac{8}{3} + 16 - 32 \right) = - \left( -\frac{8}{3} - 16 \right) = \frac{8}{3} + 16 = \frac{8 + 48}{3} = \frac{56}{3} \) кв. ед.

6. \( f(x) = x^2 - 6x + 10 \), \( x = -1 \), \( x = 3 \).

Найдем вершину параболы \( x = -\frac{-6}{2(1)} = 3 \). Значит, \( x=3 \) — это вершина параболы.

Площадь вычисляется как определённый интеграл от \( -1 \) до \( 3 \) по функции \( f(x) \).

\( S_6 = \int_{-1}^{3} (x^2 - 6x + 10) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x \right]_{-1}^{3} \)

\( = \left( \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 10(3) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 10(-1) \right) \)

\( = \left( 9 - 27 + 30 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 3 - 10 \right) \)

\( = (12) - \left( -\frac{1}{3} - 13 \right) = 12 + \frac{1}{3} + 13 = 25 + \frac{1}{3} = \frac{75 + 1}{3} = \frac{76}{3} \) кв. ед.

Ответ:

• 1. \( 28.5 \) кв. ед.
• 2. \( \frac{58}{3} \) кв. ед.
• 3. \( \frac{4}{3} \) кв. ед.
• 4. \( \frac{26}{3} \) кв. ед. (при допущении границ)
• 5. \( \frac{56}{3} \) кв. ед. (при допущении границ)
• 6. \( \frac{76}{3} \) кв. ед.