Вычислить предел функции

Решение:

Для вычисления предела функции \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x+2}{5x+1} \right)^{5x-3} \), мы имеем неопределенность вида \( 1^\infty \). Используем свойство логарифмирования или преобразуем выражение к виду \( e^{f(x)} \), где \( f(x) = (g(x) - 1)h(x) \).

1. Преобразуем основание дроби:



\[ \frac{5x+2}{5x+1} - 1 = \frac{5x+2 - (5x+1)}{5x+1} = \frac{1}{5x+1} \]



2. Теперь предел будет выглядеть так:



\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{5x+1} \right)^{5x-3} \]



3. Применим свойство пределов, которое гласит, что \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e \). Чтобы привести наш предел к этому виду, умножим и разделим показатель степени на \( 5x+1 \):



\[ \lim_{x \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{5x+1} \right)^{5x+1} \right)^{\frac{5x-3}{5x+1}} \]



4. Вынесем показатель степени за предел:



\[ \lim_{x \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{5x+1} \right)^{5x+1} \right)^{\lim_{x \to \infty} \frac{5x-3}{5x+1}} \]



5. Поскольку \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{5x+1} \right)^{5x+1} = e \), нам нужно вычислить предел показателя:



\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x-3}{5x+1} \]



6. Разделим числитель и знаменатель на \( x \):



\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{5 + \frac{1}{x}} = \frac{5 - 0}{5 + 0} = 1 \]



7. Таким образом, предел равен:



\[ e^1 = e \]

Ответ: e