Вычислить, представив аргумент в виде суммы или разности (6-8).

Решение:

1. \( \cos 15° \)



Представим \( 15° \) как разность \( 45° - 30° \).




Используем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)




\( \cos 15° = \cos (45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).




2. \( \sin 135° \)



Представим \( 135° \) как сумму \( 90° + 45° \) или \( 180° - 45° \).




Используем формулу синуса суммы: \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)




\( \sin 135° = \sin (90° + 45°) = \sin 90° \cos 45° + \cos 90° \sin 45° = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).




Или, используя формулу приведения: \( \sin 135° = \sin (180° - 45°) = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).




3. \( \operatorname{tg} 105° \)



Представим \( 105° \) как сумму \( 60° + 45° \).




Используем формулу тангенса суммы: \( \operatorname{tg} (\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)




\( \operatorname{tg} 105° = \operatorname{tg} (60° + 45°) = \frac{\operatorname{tg} 60° + \operatorname{tg} 45°}{1 - \operatorname{tg} 60° \operatorname{tg} 45°} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \).




Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 1 + \sqrt{3} \):




\( \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \).

Ответ: 6. \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\); 7. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 8. \(-2 - \sqrt{3}\).