Вычислить производную функции $$f(x) = x^8 - 4x^2 + 12x - 7$$ в точке $$x_0 = 1$$.

Решение:

1. Найдём производную функции $$f(x) = x^8 - 4x^2 + 12x - 7$$. Используем правила дифференцирования: \( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (C)' = 0 \), где $$C$$ — константа.
2. Производная от $$x^8$$ равна $$8x^{8-1} = 8x^7$$.
3. Производная от $$-4x^2$$ равна $$-4 \times 2x^{2-1} = -8x$$.
4. Производная от $$12x$$ равна $$12$$.
5. Производная от $$-7$$ (константа) равна $$0$$.
6. Таким образом, производная функции $$f'(x) = 8x^7 - 8x + 12$$.
7. Теперь вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: \( f'(1) = 8(1)^7 - 8(1) + 12 = 8 - 8 + 12 = 12 \).

Ответ: 12