Вычислить производную функции y = (4e^t) / (1 + e^t) в точке t = 0.

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = \frac{4e^t}{1 + e^t} \), воспользуемся правилом дифференцирования частного \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 4e^t \), тогда \( u' = 4e^t \).

Пусть \( v = 1 + e^t \), тогда \( v' = e^t \).

Подставим в формулу:

\[ y' = \frac{(4e^t)(1 + e^t) - (4e^t)(e^t)}{(1 + e^t)^2} \]\[ y' = \frac{4e^t + 4e^{2t} - 4e^{2t}}{(1 + e^t)^2} \]\[ y' = \frac{4e^t}{(1 + e^t)^2} \]

Теперь вычислим значение производной в точке \( t = 0 \):

\[ y'(0) = \frac{4e^0}{(1 + e^0)^2} \]\[ y'(0) = \frac{4 \cdot 1}{(1 + 1)^2} \]\[ y'(0) = \frac{4}{2^2} \]\[ y'(0) = \frac{4}{4} \]\[ y'(0) = 1 \]

Ответ: 1