Вычислить производную функции y=\frac{4e^t}{1+e^t} в точке t = 0.

Ответ: 1

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: если y = \(\frac{u}{v}\), то y' = \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\).

В нашем случае, u = 4e^t и v = 1 + e^t.

Производные: u' = 4e^t и v' = e^t.

Тогда производная y' будет:

\[y' = \frac{(4e^t)(1 + e^t) - (4e^t)(e^t)}{(1 + e^t)^2}\] \[y' = \frac{4e^t + 4e^{2t} - 4e^{2t}}{(1 + e^t)^2}\] \[y' = \frac{4e^t}{(1 + e^t)^2}\]

• Шаг 2: Подставляем t = 0 в производную

Теперь подставим t = 0 в выражение для y':

\[y'(0) = \frac{4e^0}{(1 + e^0)^2}\]

Так как e⁰ = 1:

\[y'(0) = \frac{4(1)}{(1 + 1)^2}\] \[y'(0) = \frac{4}{2^2}\] \[y'(0) = \frac{4}{4}\] \[y'(0) = 1\]

Ответ: 1