Вычислить производную первого порядка функции y = √2x-1 / x^2 + 1

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = \frac{\sqrt{2x-1}}{x^2+1} \) используем правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = \sqrt{2x-1} = (2x-1)^{1/2} \) и \( v = x^2+1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = \frac{1}{2}(2x-1)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \)
• \( v' = 2x \)

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{2x-1}}(x^2+1) - \sqrt{2x-1}(2x)}{(x^2+1)^2} \]\[ y' = \frac{\frac{x^2+1 - (2x-1)(2x)}{\sqrt{2x-1}}}{(x^2+1)^2} \]\[ y' = \frac{x^2+1 - 4x^2 + 2x}{(x^2+1)^2 \sqrt{2x-1}} \]\[ y' = \frac{-3x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2 \sqrt{2x-1}} \]

Ответ: \( y' = \frac{-3x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2 \sqrt{2x-1}} \).