Вычислить производную первого порядка функции \( y = 5x^4 - ctg5x \)

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = 5x^4 - ctg5x \), применим правила дифференцирования.

1. Производная от \( 5x^4 \): \( (5x^4)' = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3 \).
2. Производная от \( ctg(5x) \): Используем правило цепной производной \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Производная от \( ctg(u) \) равна \( -csc^2(u) \). Производная от \( 5x \) равна \( 5 \). Таким образом, \( (ctg(5x))' = -csc^2(5x) \cdot 5 = -5csc^2(5x) \).
3. Поскольку \( ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)} \), то \( csc^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)} \).
4. Собираем все вместе: \( y' = (5x^4)' - (ctg(5x))' = 20x^3 - (-5csc^2(5x)) = 20x^3 + 5csc^2(5x) = 20x^3 + \frac{5}{sin^2(5x)} \).

Ответ: y = 20x³ + \( \frac{5}{sin^2 5x} \).