Вычислить производную первого порядка функции $$y = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{x} - \arccos 4x$$

Решение:

Для нахождения производной первого порядка функции \( y = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{x} - \arccos 4x \), продифференцируем каждый член по отдельности, используя правила дифференцирования.

1. Дифференцируем \( \sqrt[3]{x^2} \):
   \( \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} \)
   \( \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
2. Дифференцируем \( \frac{2}{x} \):
   \( \frac{2}{x} = 2x^{-1} \)
   \( \frac{d}{dx}(2x^{-1}) = 2(-1)x^{-1 - 1} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2} \)
3. Дифференцируем \( \arccos 4x \):
   Используем правило дифференцирования арккосинуса: \( \frac{d}{du}(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \).
   Здесь \( u = 4x \), поэтому \( \frac{du}{dx} = 4 \).
   \( \frac{d}{dx}(\arccos 4x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (4x)^2}} \cdot 4 = -\frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}} \)
4. Объединяем производные всех членов:
   \( y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} - \left(-\frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}\right) \)
   \( y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}} \)

Ответ: \( y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}} \).