Вычислить производную первого порядка функции y = ⁵√x · cos3x

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = \sqrt[5]{x} \cdot \cos(3x) \) будем использовать правило умножения производных \( (uv)\' = u\'v + uv\' \), где \( u = \sqrt[5]{x} = x^{1/5} \) и \( v = \cos(3x) \).

1. Найдем производную \( u = x^{1/5} \):
   \[ u\' = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \]
2. Найдем производную \( v = \cos(3x) \) по правилу дифференцирования сложной функции:
   \[ v\' = -\sin(3x) \cdot (3x)\' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x) \]
3. Теперь подставим найденные производные в формулу правила умножения:
   \[ y\' = u\'v + uv\' = \left( \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \right) \cdot \cos(3x) + x^{1/5} \cdot \left( -3\sin(3x) \right) \]
4. Упростим выражение:
   \[ y\' = \frac{\cos(3x)}{5\sqrt[5]{x^4}} - 3 \sqrt[5]{x} \sin(3x) \]
5. Для приведения к виду одного из вариантов ответа, можно привести к общему знаменателю \( 5\sqrt[5]{x^4} \) или оставить в таком виде. Если привести к общему знаменателю, получим:
   \[ y\' = \frac{\cos(3x) - 3 \sqrt[5]{x} \cdot 5 \sqrt[5]{x^4} \sin(3x)}{5\sqrt[5]{x^4}} \]
   Так как \( \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^4} = \sqrt[5]{x^5} = x \), то:
   \[ y\' = \frac{\cos(3x) - 15 x \sin(3x)}{5\sqrt[5]{x^4}} \]
6. Сравним полученный результат с вариантами ответа. Вариант, который совпадает с нашим результатом после небольших преобразований, это:
   \( \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \cdot \cos(3x) - 3\sqrt[5]{x} \sin(3x) \).

Ответ: \( \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \cdot \cos(3x) - 3\sqrt[5]{x} \sin(3x) \).