Вычислить sin α, если cos α = -3/5 и π < α < 3π/2 Вычислить: 1) sin α, tg α и ctg α, если cos α = -3/5 и π/2 < α < π; 2) cos α, tg α и ctg α, если sin α = -2/5 и π < α < 3π/2 Доказать тождество: 1) (1 - cos α) (1 + cos α) = sin² α; 2) (1 - sin α) (1 + sin α) = cos² α; 3) sin² α / (1- sin² α) = tg² α; 4) cos² α / (1 - cos² α) = ctg² α;

Задание 3:

В условии уже дан пример вычисления sin α, когда известен cos α и интервал, в котором находится α: \[ sin \alpha = -\sqrt{1 - cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5} \]

1) Вычислить sin α, tg α и ctg α, если cos α = -3/5 и π/2 < α < π:

Логика такая: угол α находится во второй четверти, где sin α > 0, tg α < 0 и ctg α < 0.

• Сначала найдем sin α: \[ sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
• Затем найдем tg α: \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \]
• И ctg α: \[ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = -\frac{3}{4} \]

Ответ: sin α = 4/5, tg α = -4/3, ctg α = -3/4

2) Вычислить cos α, tg α и ctg α, если sin α = -2/5 и π < α < 3π/2:

Угол α находится в третьей четверти, где cos α < 0, tg α > 0 и ctg α > 0.

• Сначала найдем cos α: \[ cos \alpha = -\sqrt{1 - sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]
• Затем найдем tg α: \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} \]
• И ctg α: \[ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{\sqrt{21}}{2} \]

Ответ: cos α = -√21/5, tg α = 2√21/21, ctg α = √21/2

Задание 4: Доказать тождества:

1) (1 - cos α) (1 + cos α) = sin² α

Разбираемся: используем формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b²

• (1 - cos α) (1 + cos α) = 1² - cos² α = 1 - cos² α
• Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1, следовательно, 1 - cos² α = sin² α

Тождество доказано.

2) (1 - sin α) (1 + sin α) = cos² α

Тут все просто: снова применяем формулу разности квадратов.

• (1 - sin α) (1 + sin α) = 1² - sin² α = 1 - sin² α
• Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1, следовательно, 1 - sin² α = cos² α

Тождество доказано.

3) sin² α / (1 - sin² α) = tg² α

Логика такая:

• 1 - sin² α = cos² α (из основного тригонометрического тождества)
• sin² α / cos² α = (sin α / cos α)² = tg² α

Тождество доказано.

4) cos² α / (1 - cos² α) = ctg² α

Смотри, как это работает:

• 1 - cos² α = sin² α (из основного тригонометрического тождества)
• cos² α / sin² α = (cos α / sin α)² = ctg² α

Тождество доказано.