Решение задания 458

1) Дано: cos α = -3/5, π/2 < α < π. Найти: sin α, tg α, ctg α

Так как π/2 < α < π, то α находится во второй четверти. Во второй четверти sin α > 0, tg α < 0, ctg α < 0.

1. Найдём sin α, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$ $$sin^2 α = 1 - cos^2 α$$ $$sin α = \pm \sqrt{1 - cos^2 α}$$

Так как sin α > 0 во второй четверти:

$$sin α = \sqrt{1 - (-3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$$

sin α = 4/5

2. Найдём tg α:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3$$

tg α = -4/3

3. Найдём ctg α:

$$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{-4/3} = -3/4$$

ctg α = -3/4

2) Дано: sin α = -2/5, π < α < 3π/2. Найти: cos α, tg α, ctg α

Так как π < α < 3π/2, то α находится в третьей четверти. В третьей четверти cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0.

1. Найдём cos α, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$ $$cos^2 α = 1 - sin^2 α$$ $$cos α = \pm \sqrt{1 - sin^2 α}$$

Так как cos α < 0 в третьей четверти:

$$cos α = -\sqrt{1 - (-2/5)^2} = -\sqrt{1 - 4/25} = -\sqrt{21/25} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$

$$cos α = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$

2. Найдём tg α:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{-2/5}{-\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$$

$$tg α = \frac{2\sqrt{21}}{21}$$

3. Найдём ctg α:

$$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{21}}{21}} = \frac{21}{2\sqrt{21}} = \frac{21\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

$$ctg α = \frac{\sqrt{21}}{2}$$