4. Вычислить sin a и tg a, если cos a = 5/13

Ответ: sin α = 12/13, tg α = 12/5

Дано: cos α = 5/13. Найти: sin α и tg α.

Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

Подставим известное значение cos α: \[\sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1\]

Выразим sin² α: \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}\] \[\sin^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169}\] \[\sin^2 \alpha = \frac{144}{169}\]

Извлечем квадратный корень: \[\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}}\] \[\sin \alpha = \pm \frac{12}{13}\]

Поскольку не указано, в какой четверти находится угол α, рассмотрим положительное значение (обычно рассматривается первая четверть): \[\sin \alpha = \frac{12}{13}\]

Теперь найдем tg α, используя формулу: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]

Подставим известные значения: \[\tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\] \[\tan \alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}\] \[\tan \alpha = \frac{12}{5}\]

Ответ: sin α = 12/13, tg α = 12/5