Вычислить: \(\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}\)

Решение:

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \).

В нашем случае \( n=5 \), \( a = 6 - 2\sqrt{17} \) и \( b = 6 + 2\sqrt{17} \).

Перемножим выражения под корнем, используя формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).

Здесь \( x = 6 \) и \( y = 2\sqrt{17} \).

\(\begin{align*}\) \(\label{eq:1}\) \(\left\)\(6 - 2\sqrt{17} \right\) \(\left\)\(6 + 2\sqrt{17} \right\) &= 6^2 - \(\left\)\(2\sqrt{17} \right\)^2 \\ &= 36 - \(4 \cdot 17\) \\ &= 36 - 68 \\ &= -32 \(\end{align*}\)

Теперь подставим полученное значение обратно под корень пятой степени:

\[ \sqrt[5]{-32} \]