Вычислить значение выражения \(\left(a^{2x}+\frac{1}{a^{2x}}\right)\cdot b^{\frac{2x}{3}}\) при \(a^x+\frac{1}{a^x}=4\), \(b^x=8\).

Возведём первое равенство в квадрат:

\[\left(a^x+\frac{1}{a^x}\right)^2=16.\]

Раскроем скобки:

\[a^{2x}+2+\frac{1}{a^{2x}}=16,\]

откуда

\[a^{2x}+\frac{1}{a^{2x}}=14.\]

Вычислим второе множитель:

\[b^{\frac{2x}{3}}=(b^x)^{\frac23}=8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4.\]

Тогда значение выражения равно:

\[14\cdot4=56.\]

Ответ: 56.