1.Вычислить: A) tg π/4 · sin π/3 · ctg π/6 − sin π/4 · cos π/4 Б) cos (−π) + sin(−π/6) 2. Найти остальные три тригонометрические выражения от угла а, если A) sin α= √3/3 и π/2< α <π Б) cos α= 3/5 и 0<α<π/2 3.Упростите выражение с помощью основных формул A) cos²α + tg²α + sin²α Б) (1−sin²α) (1+ tg²α) В) tga/ctga · (1-sin²a) 4.Упростите выражение с помощью формул суммы и разности, двойного и отрицательного угла A) sin(a + β) + cosa sin(−β) Б) sin5acos3a - sin3a cos5a В) cos² 2x/3 - sin² 2x/3 Г) (sin5x + cos5x)² - sin10x

1. Вычислить:

A) tg π/4 · sin π/3 · ctg π/6 − sin π/4 · cos π/4

Давай разберем по порядку: Известные значения: \[tg \frac{\pi}{4} = 1\] \[sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\] \[sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Подставим: \[1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1\]

Б) cos (−π) + sin(−π/6)

Известные значения: \[cos(-\pi) = -1\] \[sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\] Подставим: \[-1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\]

Ответ: А) 1, Б) -3/2

2. Найти остальные три тригонометрические выражения от угла а, если

А) sin α= √3/3 и π/2< α <π

Сначала найдем косинус: \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] \[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\] Так как π/2< α <π, то косинус отрицательный: \[cos \alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}\] Найдем тангенс: \[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Найдем котангенс: \[ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = -\sqrt{2}\]

Б) cos α= 3/5 и 0<α<π/2

Сначала найдем синус: \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] \[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\] Так как 0<α<π/2, то синус положительный: \[sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\] Найдем тангенс: \[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}\] Найдем котангенс: \[ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{3}{4}\]

Ответ: А) cos α = -√6/3, tg α = -√2/2, ctg α = -√2 Б) sin α = 4/5, tg α = 4/3, ctg α = 3/4

3. Упростите выражение с помощью основных формул

A) cos²α + tg²α + sin²α

\[cos^2 \alpha + sin^2 \alpha + tg^2 \alpha = 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}\]

Б) (1−sin²α) (1+ tg²α)

\[(1-sin^2 \alpha)(1+tg^2 \alpha) = cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{cos^2 \alpha} = 1\]

В) tga/ctga · (1-sin²a)

\[\frac{tg \alpha}{ctg \alpha} \cdot (1-sin^2 \alpha) = tg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \cdot cos^2 \alpha = sin^2 \alpha\]

Ответ: А) 1/cos²α, Б) 1, В) sin²α

4.Упростите выражение с помощью формул суммы и разности, двойного и отрицательного угла

A) sin(a + β) + cosa sin(−β)

\[sin(\alpha + \beta) + cos \alpha \cdot sin(-\beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta - cos \alpha sin \beta = sin \alpha cos \beta\]

Б) sin5acos3a - sin3a cos5a

\[sin 5\alpha cos 3\alpha - sin 3\alpha cos 5\alpha = sin(5\alpha - 3\alpha) = sin 2\alpha\]

В) cos² 2x/3 - sin² 2x/3

\[cos^2 \frac{2x}{3} - sin^2 \frac{2x}{3} = cos(\frac{4x}{3})\]

Г) (sin5x + cos5x)² - sin10x

\[(sin 5x + cos 5x)^2 - sin 10x = sin^2 5x + 2sin 5x cos 5x + cos^2 5x - sin 10x = 1 + sin 10x - sin 10x = 1\]

Ответ: А) sin α cos β, Б) sin 2α, В) cos(4x/3), Г) 1