1.Вычислить: A) tg π/4 * sin π/3 * ctg π/6 − sin π/4 * cos π/4 Б) cos (−π) + sin(−π/6) 2. Найти остальные три тригонометрические выражения от угла а, если A) sin α = √3 / 3 и π/2 < α < π Б) cos α = 3/5 и 0 < α < π/2 3.Упростите выражение с помощью основных формул A) cos²α + tg²α + sin²α Б) (1−sin²α) (1+ tg²α) B) tgα / ctga * (1-sin²α) 4.Упростите выражение с помощью формул суммы и разности, двойного и отрицательного угла A) sin(α + β) + cosα sin(−β) B) cos² 2x/3 - sin² 2x/3 Г) (sin5x + cos5x)² - sin10x

Давай разберем по порядку каждый пункт.

1. Вычислить:

A) tg(π/4) * sin(π/3) * ctg(π/6) − sin(π/4) * cos(π/4)

Сначала вспомним значения тригонометрических функций для углов π/4, π/3 и π/6:

• tg(π/4) = 1
• sin(π/3) = √3/2
• ctg(π/6) = √3
• sin(π/4) = √2/2
• cos(π/4) = √2/2

Подставим эти значения в выражение:

1 * (√3/2) * √3 − (√2/2) * (√2/2) = (3/2) − (2/4) = 3/2 − 1/2 = 2/2 = 1

Б) cos(−π) + sin(−π/6)

Вспомним значения тригонометрических функций для углов −π и −π/6:

• cos(−π) = -1
• sin(−π/6) = -1/2

Подставим эти значения в выражение:

-1 + (-1/2) = -1 − 1/2 = -3/2

2. Найти остальные три тригонометрические выражения от угла α, если:

A) sin α = √3 / 3 и π/2 < α < π

Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1. Найдем cos α:

cos²α = 1 − sin²α = 1 − (√3/3)² = 1 − 3/9 = 1 − 1/3 = 2/3

cos α = ±√(2/3). Поскольку π/2 < α < π, то α находится во второй четверти, где cos α < 0. Поэтому cos α = −√(2/3) = −√6/3.

Теперь найдем tg α и ctg α:

• tg α = sin α / cos α = (√3/3) / (−√6/3) = √3 / (−√6) = −√(3/6) = −√(1/2) = −√2/2
• ctg α = 1 / tg α = 1 / (−√2/2) = −2/√2 = −√2

Б) cos α = 3/5 и 0 < α < π/2

Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1. Найдем sin α:

sin²α = 1 − cos²α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25

sin α = ±√(16/25). Поскольку 0 < α < π/2, то α находится в первой четверти, где sin α > 0. Поэтому sin α = √(16/25) = 4/5.

Теперь найдем tg α и ctg α:

• tg α = sin α / cos α = (4/5) / (3/5) = 4/3
• ctg α = 1 / tg α = 1 / (4/3) = 3/4

3. Упростите выражение с помощью основных формул:

A) cos²α + tg²α + sin²α

Поскольку cos²α + sin²α = 1, выражение упрощается до:

1 + tg²α

Также, мы знаем, что 1 + tg²α = 1 / cos²α

Б) (1−sin²α) (1+ tg²α)

Мы знаем, что 1 − sin²α = cos²α, и 1 + tg²α = 1 / cos²α. Поэтому:

cos²α * (1 / cos²α) = 1

B) tgα / ctga * (1-sin²α)

Мы знаем, что tg α / ctg α = tg²α, и 1 − sin²α = cos²α. Поэтому:

tg²α * cos²α = (sin²α / cos²α) * cos²α = sin²α

4. Упростите выражение с помощью формул суммы и разности, двойного и отрицательного угла:

A) sin(α + β) + cosα sin(−β)

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. sin(−β) = −sin β. Поэтому:

sin α cos β + cos α sin β + cos α (−sin β) = sin α cos β + cos α sin β − cos α sin β = sin α cos β

B) cos²(2x/3) - sin²(2x/3)

Используем формулу cos 2α = cos²α − sin²α:

cos²(2x/3) - sin²(2x/3) = cos(2 * (2x/3)) = cos(4x/3)

Г) (sin5x + cos5x)² - sin10x

Раскроем квадрат:

(sin5x + cos5x)² = sin²5x + 2sin5x cos5x + cos²5x = 1 + 2sin5x cos5x

Используем формулу sin 2α = 2sin α cos α. Тогда 2sin5x cos5x = sin(2 * 5x) = sin10x.

Поэтому 1 + sin10x − sin10x = 1