Вычислите \(\displaystyle 5-6 \cos ^{2} \alpha \), если \(\displaystyle \sin \alpha = -\frac{3}{8}\)

Для решения данного задания необходимо вспомнить основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Выразим \(\cos^2 \alpha\) через \(\sin \alpha\):

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$

Подставим значение \(\sin \alpha = -\frac{3}{8}\) в формулу:

$$\cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64}{64} - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}$$

Теперь подставим полученное значение \(\cos^2 \alpha\) в исходное выражение:

$$5 - 6 \cos^2 \alpha = 5 - 6 \cdot \frac{55}{64} = 5 - \frac{330}{64} = \frac{320}{64} - \frac{330}{64} = -\frac{10}{64} = -\frac{5}{32}$$

Ответ: -5/32